Mürəkkəb funksiyaya görə xarici funksiyanı tapmaq

1 · Əsas fikir

Daxili funksiyaya görə xarici funksiya

Əsas fikir

Dərslikdən. x-in qiymətləri g funksiyasının təyin oblastına, g(x)-lər isə f funksiyasının təyin oblastına daxildirsə, hər x ∈ D(g) ədədinə f(g(x)) ədədini qarşı qoyan funksiyaya f və g funksiyalarının mürəkkəb funksiyası (kompozisiyası) deyilir: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

f(g(x)) verilibsə f(x)-i tapmaq. Daxili ifadəni yeni dəyişənlə işarə edin (t = g(x)), x-i t ilə ifadə edin və sağ tərəfdə yerinə yazın; alınan düstur f(t)-dir, sonra t-ni x ilə əvəz edin.

Başqa yol: h(x) ifadəsini daxili funksiya g(x)-in ifadəsi ilə yazmaq (dərslik, Nümunə 2: f(g(x)) = (g(x))² + g(x) + 1 olduğundan f(x) = x² + x + 1).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqMürəkkəb funksiyaya görə xarici funksiyanı tapmaq

h(x) = x² − 6x + 11 funksiyası h(x) = f(g(x)) şəklində göstərilmişdir, burada g(x) = x − 3. f(x) funksiyasının düsturunu tapın. Cavabı ax² + bx + c şəklində yazın.

1. h(x)-də x − 3 ifadəsini ayıraq (tam kvadrat): x² − 6x + 11 = (x² − 6x + 9) + 2 = (x − 3)² + 2.
2. Deməli h(x) = (g(x))² + 2, yəni xarici funksiya daxili ifadəni kvadrata yüksəldib 2 əlavə edir: f(x) = x² + 2.
3. Əvəzləmə ilə də yoxlamaq olar: t = x − 3 ⇒ x = t + 3, f(t) = (t + 3)² − 6(t + 3) + 11 = t² + 6t + 9 − 6t − 18 + 11 = t² + 2.
4. Cavab: f(x) = x² + 2

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

f(g(x)) = (x − 3)² + 2 = x² − 6x + 9 + 2 = x² − 6x + 11 = h(x) ✓. Ədədlə: x = 5 olduqda h(5) = 25 − 30 + 11 = 6, g(5) = 2, f(2) = 6 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• x² + 20Tam kvadrat ayrılarkən 9 çıxılmaq əvəzinə əlavə edilib: x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2, (x − 3)² + 20 deyil.
• x² − 6x + 11h-in düsturu dəyişmədən köçürülüb. f(x) = h(x) yalnız g(x) = x olduqda doğru olardı.
• x² − 12x + 38Yanlış istiqamətdə əvəzləmə: f(t) = h(t − 3) hesablanıb. t = x − 3 olduqda x = t + 3-dür, ona görə f(t) = h(t + 3).
• x² − 2Sərbəst hədd səhvi: 11 − 9 = 2 olmalıdır, 9 − 11 = −2 deyil.