f(x) = √(x − 1) və g(x) = 5 − x² funksiyaları verilmişdir. y = f(g(x)) mürəkkəb funksiyasının təyin oblastını tapın. Cavabınızı əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Kompozisiyanın təyin oblastı
Əsas fikir
Dərslikdən. x-in qiymətləri g funksiyasının təyin oblastına, g(x)-lər isə f funksiyasının təyin oblastına daxildirsə, hər x ∈ D(g) ədədinə f(g(x)) ədədini qarşı qoyan funksiyaya f və g funksiyalarının mürəkkəb funksiyası (kompozisiyası) deyilir: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
Təyin oblastı. f(g(x)) yalnız o x-lər üçün mənalıdır ki, x ∈ D(g) və g(x) ∈ D(f) olsun (dərslikdə: kompozisiya E(g) ⊂ D(f) olduqda qurula bilər).
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
Tapşırıqf(g(x)) mürəkkəb funksiyasının təyin oblastı
f(x) = √(x − 1) və g(x) = 5 − x² funksiyaları verilmişdir. y = f(g(x)) mürəkkəb funksiyasının təyin oblastını tapın. Cavabınızı əsaslandırın.
- f(g(x)) mənalıdır ⇔ x ∈ D(g) və g(x) ∈ D(f). D(g) = (−∞; +∞), D(f) = [1; +∞) (kökaltı ifadə x − 1 ≥ 0).
- Deməli şərt: g(x) ≥ 1, yəni 5 − x² ≥ 1 ⇔ x² ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2.
- Eyni nəticə düsturdan da alınır: f(g(x)) = √(5 − x² − 1) = √(4 − x²), 4 − x² ≥ 0 ⇔ x ∈ [−2; 2].
- Cavab: [−2; 2]
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
x = 2: g(2) = 1, f(1) = 0 — mənalıdır ✓. x = 0: g(0) = 5, f(5) = 2 ✓. x = 3: g(3) = −4, f(−4) = √(−5) — mənasızdır, 3 oblasta daxil deyil ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- [1; +∞)Bu, xarici funksiya f-in öz təyin oblastıdır. Şərt x-ə deyil, g(x)-ə qoyulur: g(x) ≥ 1.
- (−∞; +∞)Bu, daxili funksiya g-nin təyin oblastıdır. g(x) bütün x üçün mənalıdır, amma f yalnız ≥ 1 olan ədədləri qəbul edir.
- [−√5; √5]Şərt g(x) ≥ 0 kimi götürülüb (kökaltı ifadə g(x) − 1-dir, g(x) deyil): 5 − x² − 1 ≥ 0, yəni x² ≤ 4.
- (−∞; −2] ∪ [2; +∞)x² ≤ 4 bərabərsizliyi səhv həll edilib: onun həlli −2 ≤ x ≤ 2 parçasıdır, kənar şüalar deyil.