Qrafikə görə f(x² − 4) = 0 tənliyinin kökləri

1 · Əsas fikir

Qrafiklə verilmiş funksiya ilə mürəkkəb tənlik

Əsas fikir

Dərslikdən. x-in qiymətləri g funksiyasının təyin oblastına, g(x)-lər isə f funksiyasının təyin oblastına daxildirsə, hər x ∈ D(g) ədədinə f(g(x)) ədədini qarşı qoyan funksiyaya f və g funksiyalarının mürəkkəb funksiyası (kompozisiyası) deyilir: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

f(g(x)) = 0 tənliyi. Əvvəl f(t) = 0 tənliyinin köklərini (qrafikin absis oxu ilə ortaq nöqtələrini) tapırıq, sonra hər kök üçün g(x) = t tənliyini həll edirik və g(x)-in f-in təyin oblastına düşdüyünü yoxlayırıq.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqQrafikə görə f(x² − 4) = 0 tənliyinin kökləri

Şəkildə [−5; 5] parçasında təyin olunmuş y = f(x) funksiyasının qrafiki verilmişdir; qrafik absis oxu ilə yalnız x = −4, x = 1 və x = 5 nöqtələrində ortaq nöqtəyə malikdir. f(x² − 4) = 0 tənliyinin neçə müxtəlif həqiqi kökü var? Cavabınızı əsaslandırın.

1. t = x² − 4 işarə edək. f(t) = 0 ⇔ t ∈ {−4; 1; 5} (qrafikin absis oxu ilə ortaq nöqtələri).
2. t = −4: x² − 4 = −4 ⇔ x² = 0 ⇔ x = 0 — bir kök.
3. t = 1: x² = 5 ⇔ x = ±√5 — iki kök. t = 5: x² = 9 ⇔ x = ±3 — iki kök.
4. Təyin oblastı: bütün bu x-lər üçün x² − 4 ∈ {−4; 1; 5} ⊂ [−5; 5], yəni f(x² − 4) mənalıdır. Köklər 0, ±√5, ±3 — hamısı müxtəlifdir: cəmi 5 kök.
5. Cavab: 5

[−5; 5] parçasında təyin olunmuş y = f(x) funksiyasının qrafiki

f-in sıfırları: t = −4, t = 1, t = 5. Hər biri üçün x² − 4 = t tənliyi həll olunur.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Məsələn x = −3: (−3)² − 4 = 5, f(5) = 0 ✓; x = 0: f(−4) = 0 ✓. Kökləri sayaq: 1 + 2 + 2 = 5 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 6Hər sıfıra iki kök yazılıb. Lakin x² − 4 = −4 tənliyinin yeganə kökü x = 0-dır (x² = 0).
• 3f-in sıfırları sayılıb (−4, 1, 5). Tənlik f(x² − 4) = 0-dır: hər sıfır t üçün x² − 4 = t tənliyi ayrıca həll olunur.
• 4x² − 4 = −4 halı atılıb (x² = 0 «kök vermir» sayılıb). x = 0 həqiqi kökdür: f(0² − 4) = f(−4) = 0.
• 2Yalnız müsbət köklər sayılıb (√5 və 3). Mənfi ədədlər də köklərdir: (−√5)² = 5, (−3)² = 9.