Parametr: f(g(x)) = g(f(x)) bütün x üçün

1 · Əsas fikir

Kompozisiyaların bərabərliyi

Əsas fikir

Dərslikdən. x-in qiymətləri g funksiyasının təyin oblastına, g(x)-lər isə f funksiyasının təyin oblastına daxildirsə, hər x ∈ D(g) ədədinə f(g(x)) ədədini qarşı qoyan funksiyaya f və g funksiyalarının mürəkkəb funksiyası (kompozisiyası) deyilir: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Diqqət. f(g(x)) və g(f(x)) iki müxtəlif mürəkkəb funksiyadır: ümumiyyətlə f(g(x)) ≠ g(f(x)).

Eynilik. İki xətti funksiya kx + m və kx + n bütün x üçün bərabərdirsə, onların sərbəst hədləri də bərabərdir: m = n.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqParametr: f(g(x)) = g(f(x)) bütün x üçün

f(x) = 3x + a və g(x) = ax + 10 funksiyaları verilmişdir. a-nın elə qiymətlərini tapın ki, bütün x üçün f(g(x)) = g(f(x)) olsun. a-nın bu qiymətlərinin hasilini tapın və cavabınızı əsaslandırın.

1. f(g(x)) = 3(ax + 10) + a = 3ax + 30 + a.
2. g(f(x)) = a(3x + a) + 10 = 3ax + a² + 10.
3. x-in əmsalları hər iki tərəfdə 3a-dır. Bütün x üçün bərabərlik ⇔ sərbəst hədlər bərabərdir: 30 + a = a² + 10 ⇔ a² − a − 20 = 0.
4. Diskriminant 1 + 80 = 81; a = (1 ± 9)/2, yəni a = 5 və ya a = −4. Hasil 5 · (−4) = −20 (Viyet teoremi ilə də: c/a = −20).
5. Cavab: −20

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

a = 5: f(g(x)) = 3(5x + 10) + 5 = 15x + 35, g(f(x)) = 5(3x + 5) + 10 = 15x + 35 ✓. a = −4: f(g(x)) = 3(−4x + 10) − 4 = −12x + 26, g(f(x)) = −4(3x − 4) + 10 = −12x + 26 ✓. Məsələn a = 1-də 3x + 31 ≠ 3x + 11 — ümumiyyətlə bərabərlik yoxdur.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 20Köklərin hasili işarəsiz götürülüb. a² − a − 20 = 0 tənliyinin kökləri 5 və −4-dür, hasil 5 · (−4) = −20.
• 1Hasil əvəzinə köklərin cəmi götürülüb: 5 + (−4) = 1.
• 5Yalnız müsbət kök götürülüb. Şərtdə a-ya məhdudiyyət yoxdur: a = −4 də uyğundur (f(g(x)) = g(f(x)) = −12x + 26).
• belə a yoxdurg(f(x)) açılarkən a · a hasili itirilib: a(3x + a) + 10 = 3ax + a² + 10 olmalıdır. a əvəzinə a yazılsa, 30 + a = a + 10 ziddiyyəti alınır.