f(x) cüt, g(x) isə tək funksiyadır və hər ikisi bütün ədəd oxunda təyin olunub. Aşağıdakı funksiyalardan hansı mütləq tək funksiyadır?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Cüt və tək funksiya
Əsas fikir
Dərslikdən. Təyin oblastı x = 0 nöqtəsinə nəzərən simmetrik olan funksiyalara baxılır: x təyin oblastındadırsa, −x də oradadır. «Təyin oblastından götürülmüş ixtiyari x üçün f(−x) = f(x) olarsa, f(x)-ə cüt funksiya deyilir»; «f(−x) = −f(x) olarsa, f(x)-ə tək funksiya deyilir».
- Cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir: (x; y) qrafikdədirsə, (−x; y) də qrafikdədir.
- Tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir: (x; y) qrafikdədirsə, (−x; −y) də qrafikdədir; tək funksiya x = 0-da təyin olunubsa, f(0) = 0.
- Təyin oblastı x = 0-a nəzərən simmetrik deyilsə və ya hər iki bərabərlik pozulursa, funksiya nə tək, nə də cütdür.
Tərifdən çıxan nəticə. f cüt, g tək olarsa, h(x) = f(x) · g(x) üçün h(−x) = f(x) · (−g(x)) = −h(x): cüt və tək funksiyanın hasili təkdir; iki tək funksiyanın hasili isə cütdür. Hər dəfə yeni funksiya üçün h(−x) yazılıb sadələşdirilir.
Cüt funksiyanın qrafiki
Cüt funksiya: (−x; y) və (x; y) nöqtələri ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir.
Tək funksiyanın qrafiki
Tək funksiya: (x; y) və (−x; −y) nöqtələri koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqHansı funksiya mütləq təkdir
f(x) cüt, g(x) isə tək funksiyadır və hər ikisi bütün ədəd oxunda təyin olunub. Aşağıdakı funksiyalardan hansı mütləq tək funksiyadır?
- h(x) = f(x) · g(x) bütün ədəd oxunda təyin olunub.
- h(−x) = f(−x) · g(−x) = f(x) · (−g(x)) = −h(x).
- Bu bərabərlik istənilən cüt f və tək g üçün doğrudur, deməli f · g mütləq təkdir.
- Digər variantlar üçün tərif ya pozulur, ya da yalnız xüsusi hallarda ödənir (aşağıda).
- Cavab: f(x) · g(x)
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama nümunəsi: f(x) = x², g(x) = x ⇒ f · g = x³ — tək ✓; f + g = x² + x — nə tək, nə də cüt.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- f(x) + g(x)(f + g)(−x) = f(x) − g(x) — nə f + g-yə, nə də onun əksinə bərabər olmaya bilər. Məsələn, x² + x nə tək, nə də cütdür (dərslik, Nümunə 2).
- g(x) · g(x)g(−x) · g(−x) = (−g(x))² = g(x)²: tək funksiyanın kvadratı cütdür.
- f(x) · g(x) + 1x = 0-da qiyməti 1-dir (g(0) = 0). Tək funksiyada f(0) = 0 olmalıdır, ona görə bu funksiya tək ola bilməz.
- f(x) · f(x)f(−x)² = f(x)²: cüt funksiyanın kvadratı da cütdür.