Funksiyanın [−1; 3] parçasında ən böyük (ƏBQ) və ən kiçik (ƏKQ) qiymətlərinin cəmini tapın:
Cavabı ədəd kimi yazın və həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Nəyi bilmək lazımdır
Əsas fikir
Dərslikdən. Funksiyanın qiymətləri artmadan azalmaya keçdiyi nöqtə maksimum nöqtəsi (xmax), azalmadan artmaya keçdiyi nöqtə minimum nöqtəsi (xmin) adlanır. Bunlar ekstremum nöqtələridir, funksiyanın bu nöqtələrdəki qiymətləri (fmax, fmin) isə ekstremumlardır. «Funksiyanın qiymətləri içərisində ən böyüyü ƏBQ, ən kiçiyi isə ƏKQ ilə (əgər varsa) işarə edilir.»
Parçanın uc nöqtəsində keçid yoxdur — qrafik oradan yalnız bir tərəfə gedir, ona görə uc nöqtə ekstremum nöqtəsi sayılmır. ƏBQ və ƏKQ isə ekstremumlardan da, uc nöqtələrdəki qiymətlərdən də ola bilər: hamısı müqayisə edilir.
Kvadratın tamamlanması: x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3. (x − 2)² ≥ 0 olduğundan funksiya x ≤ 2 olduqda azalır, x ≥ 2 olduqda artır, x = 2 minimum nöqtəsidir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqParçada ən böyük və ən kiçik qiymət
Funksiyanın [−1; 3] parçasında ən böyük (ƏBQ) və ən kiçik (ƏKQ) qiymətlərinin cəmini tapın:
f(x) = x² − 4x + 1
Cavabı ədəd kimi yazın və həllinizi əsaslandırın.
- Kvadratı tamamlayırıq: f(x) = x² − 4x + 1 = (x − 2)² − 3.
- [−1; 2] aralığında funksiya azalandır, [2; 3] aralığında artandır; x = 2 ∈ [−1; 3] minimum nöqtəsidir, fmin = f(2) = −3.
- Uclarda: f(−1) = 1 + 4 + 1 = 6, f(3) = 9 − 12 + 1 = −2.
- Müqayisə: ƏBQ = max(6; −3; −2) = 6 (x = −1-də), ƏKQ = min(6; −3; −2) = −3 (x = 2-də).
- Cəm: 6 + (−3) = 3.
- Cavab: 3
y = x² − 4x + 1 funksiyasının [−1; 3] parçasında qrafiki
Parçada qiymətlər: ucda f(−1) = 6, minimumda f(2) = −3, ucda f(3) = −2.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
(x − 2)² ≥ 0 ⇒ f(x) ≥ −3 hər x üçün, bərabərlik x = 2-də. [−1; 3]-də |x − 2| ≤ 3 ⇒ (x − 2)² ≤ 9 ⇒ f(x) ≤ 6, bərabərlik x = −1-də. Deməli, ƏBQ = 6, ƏKQ = −3.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 4Yalnız uc nöqtələrdəki qiymətlər götürülüb: 6 + (−2). Minimum nöqtəsi x = 2 parçanın içindədir və f(2) = −3 < f(3), ona görə ƏKQ = −3.
- 8ƏKQ əvəzinə minimum nöqtəsinin özü (x = 2) götürülüb: 6 + 2. ƏKQ funksiyanın qiymətidir: f(2) = −3.
- −5f(−1) səhv hesablanıb: (−1)² − 4·(−1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6, −2 deyil. Mənfi ədədin kvadratı və −4·(−1) müsbətdir.
- 7ƏKQ kimi qrafikin ordinat oxu ilə kəsişməsi f(0) = 1 götürülüb. f(0) ən kiçik qiymət deyil: f(2) = −3 < 1.