Modullu funksiyanın xassələri

1 · Əsas fikir

Nəyi bilmək lazımdır

Əsas fikir

Dərslikdən. «Arqumentin funksiyanı sıfıra çevirən qiymətlərinə funksiyanın sıfırları deyilir.» «f(x) funksiyasının sıfırları f(x) = 0 tənliyinin kökləridir.» Qrafikdə sıfırlar qrafikin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləridir.

Dərslikdən. Aralıqdan götürülmüş x2 > x1 şərtini ödəyən ixtiyari x1, x2 üçün f(x2) > f(x1) olarsa, f(x) bu aralıqda artan, f(x2) < f(x1) olarsa azalan funksiyadır. Qrafikdə soldan sağa getdikcə artan funksiyanın qrafiki qalxır, azalanınkı enir.

Dərslikdən. Funksiyanın qiymətləri artmadan azalmaya keçdiyi nöqtə maksimum nöqtəsi (xmax), azalmadan artmaya keçdiyi nöqtə minimum nöqtəsi (xmin) adlanır. Bunlar ekstremum nöqtələridir, funksiyanın bu nöqtələrdəki qiymətləri (fmax, fmin) isə ekstremumlardır. «Funksiyanın qiymətləri içərisində ən böyüyü ƏBQ, ən kiçiyi isə ƏKQ ilə (əgər varsa) işarə edilir.»

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqModullu funksiyanın xassələri

Funksiya üçün hansı ifadə doğrudur?

f(x) = |x − 1| − 2

1. Modulu açırıq: x ≥ 1 olduqda f(x) = x − 1 − 2 = x − 3; x < 1 olduqda f(x) = −(x − 1) − 2 = −x − 1.
2. Monotonluq: (−∞; 1] aralığında f(x) = −x − 1 azalandır (k = −1), [1; +∞) aralığında f(x) = x − 3 artandır (k = 1). x = 1 minimum nöqtəsidir, fmin = f(1) = −2 = ƏKQ.
3. Sıfırlar: |x − 1| = 2 ⇒ x = 3 və ya x = −1.
4. İşarə: −1 < x < 3 olduqda |x − 1| < 2, yəni f(x) < 0; x < −1 və ya x > 3 olduqda f(x) > 0.
5. Deməli, doğru ifadə: «x ∈ (−1; 3) olduqda f(x) < 0».
6. Cavab: x ∈ (−1; 3) olduqda f(x) < 0

f(x) = |x − 1| − 2 funksiyasının qrafiki

Sıfırlar −1 və 3 (narıncı), minimum nöqtəsi x = 1, fmin = −2. Qırmızı zolaq: f(x) < 0.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Nümunə: f(0) = |−1| − 2 = −1 < 0, f(2) = 1 − 2 = −1 < 0; sərhəddə f(−1) = f(3) = 0; kənarda f(4) = 1 > 0.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• Funksiya [1; +∞) aralığında azalandırx ≥ 1 olduqda f(x) = x − 3 — bucaq əmsalı 1 > 0, funksiya bu aralıqda artandır.
• Funksiyanın ən kiçik qiyməti −1-dir|x − 1| ≥ 0 ⇒ f(x) ≥ −2 və f(1) = −2. ƏKQ = −2; −1 sıfırla qarışdırılıb.
• Funksiyanın sıfırları −3 və 1-dir|x − 1| = 2 ⇒ x − 1 = ±2 ⇒ x = 3 və ya x = −1. −3 və 1 |x + 1| = 2 tənliyinin kökləridir — işarə səhvi.
• Funksiyanın minimum nöqtəsi x = −2-dirMinimum nöqtəsi x = 1-dir; −2 isə funksiyanın minimumdakı qiymətidir (fmin). Nöqtə ilə qiymət qarışdırılıb.