A nöqtəsindən α müstəvisinə AP perpendikulyarı və AB, AC mailləri çəkilmişdir. PB > PC olduğu məlumdur. Hansı təklif doğrudur?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Mailləri proyeksiyalarına görə müqayisə edirik
Əsas fikir
Dərslikdən. Fəzanın A nöqtəsindən keçən və α müstəvisinə perpendikulyar olub onu P nöqtəsində kəsən düz xəttin AP parçasına A nöqtəsindən α müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar, A nöqtəsini müstəvinin P-dən fərqli B nöqtəsi ilə birləşdirən AB parçasına mail deyilir. P — perpendikulyarın oturacağı, B — mailin oturacağı, BP isə mailin müstəvi üzərində proyeksiyasıdır.
AP ⊥ α olduğundan AP müstəvi üzərindəki PB düz xəttinə də perpendikulyardır. Deməli, APB üçbucağı P təpəsində düzbucaqlıdır, AB isə onun hipotenuzudur: AB² = AP² + PB².
Dərslikdən. Müstəvi xaricindəki nöqtədən ona perpendikulyar və maillər çəkilərsə: 1) perpendikulyarın uzunluğu mailin uzunluğundan kiçikdir; 2) proyeksiyaları bərabər olan maillər bərabərdir; 3) proyeksiyası böyük olan mail böyükdür.
Hamısı eyni AP katetli düzbucaqlı üçbucaqlardan çıxır: AB² = AP² + PB². Buna görə tərsi də doğrudur: bərabər maillərin proyeksiyaları bərabərdir, böyük mailin proyeksiyası böyükdür.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqMaillərin və proyeksiyaların müqayisəsi
A nöqtəsindən α müstəvisinə AP perpendikulyarı və AB, AC mailləri çəkilmişdir. PB > PC olduğu məlumdur. Hansı təklif doğrudur?
- APB və APC üçbucaqları P-də düzbucaqlıdır (AP ⊥ α), AP onların ortaq katetidir.
- Pifaqor teoreminə görə AB² = AP² + PB² və AC² = AP² + PC².
- PB > PC olduğundan PB² > PC², deməli AB² > AC² və AB > AC. Bu, dərslikdəki 3-cü xassədir: proyeksiyası böyük olan mail böyükdür.
- Cavab: AB > AC
Bir nöqtədən çəkilmiş iki mail
Ortaq AP katetli iki düzbucaqlı üçbucaq: PB > PC olduğundan AB hipotenuzu AC-dən uzundur.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Məsələn, AP = 4, PB = 6, PC = 3 olsun: AB = √52 ≈ 7,2, AC = 5, doğrudan da AB > AC ✓. Digər təkliflər bu nümunədə də ödənmir: AP = 4 < AC = 5; bucaqlar üçün tg ∠ABP = 4/6 < tg ∠ACP = 4/3 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- AB < ACXassə tərsinə tətbiq olunub. Proyeksiyası böyük olan mail böyükdür: PB > PC olduğundan AB > AC.
- AB = ACBərabər maillərin proyeksiyaları bərabər olardı. Burada PB ≠ PC, ona görə maillər də bərabər deyil.
- AP > ACPerpendikulyar hər bir maildən qısadır: AC hipotenuz, AP isə katetdir, AP < AC.
- AB mailinin müstəvi ilə bucağı AC mailinin müstəvi ilə bucağından böyükdürProyeksiya uzandıqca bucaq kiçilir: tg ∠ABP = AP/PB, tg ∠ACP = AP/PC və PB > PC olduğundan tg ∠ABP < tg ∠ACP, yəni AB-nin bucağı kiçikdir.