Fəzada 5 nöqtə verilmişdir və onlardan heç dördü bir müstəvi üzərində deyil. Hər biri bu nöqtələrdən üçündən keçən neçə müxtəlif müstəvi var? Cavabı ədədlə yazın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Müstəvini üç nöqtə təyin edir
Əsas fikir
Aksiomlar (dərslikdən). 1) İxtiyari müstəvi üçün bu müstəviyə aid olan nöqtələr və ona aid olmayan nöqtələr var. 2) İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt üzrə kəsişirlər. 3) Bir düz xətt üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnız bir müstəvi keçir.
Terminlər. Bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtələr kollinear, eyni müstəvi üzərində yerləşən nöqtələr komplanar nöqtələrdir. Kollinear üç nöqtədən sonsuz sayda müstəvi keçir — onlar müstəvini müəyyən etmir.
Üçlükləri saymaq. n nöqtədən üçünü seçməyin yollarının sayı n·(n − 1)·(n − 2) : 6-dır: sıra ilə seçəndə n·(n − 1)·(n − 2) yol alınır, eyni üç nöqtə isə 3·2·1 = 6 müxtəlif sırada sayılır.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqBeş nöqtədən keçən müstəvilərin sayı
Fəzada 5 nöqtə verilmişdir və onlardan heç dördü bir müstəvi üzərində deyil. Hər biri bu nöqtələrdən üçündən keçən neçə müxtəlif müstəvi var? Cavabı ədədlə yazın.
- Heç üç nöqtə bir düz xətt üzərində deyil: üç kollinear nöqtə ilə istənilən dördüncü nöqtə bir müstəvidə olardı (düz xətt və onun üzərində olmayan nöqtədən müstəvi keçir), bu isə şərtə ziddir.
- Deməli, istənilən üç nöqtə kollinear deyil və Aksiom 3-ə görə hər üçlükdən bir və yalnız bir müstəvi keçir.
- Müxtəlif üçlüklər müxtəlif müstəvilər verir: iki müxtəlif üçlük birlikdə ən azı dörd nöqtədir və onlar bir müstəvidə ola bilməz.
- Müstəvilərin sayı üçlüklərin sayına bərabərdir: 5·4·3 : 6 = 60 : 6 = 10.
- Cavab: 10 müstəvi
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Siyahı ilə yoxlayaq (nöqtələr P₁, P₂, P₃, P₄, P₅). P₁ olan üçlüklər: qalan dörd nöqtədən ikisini seçmək — P₂P₃, P₂P₄, P₂P₅, P₃P₄, P₃P₅, P₄P₅, yəni 6. P₁ olmayan üçlüklər: P₂…P₅-dən birini kənarda qoymaq — 4. Cəmi 6 + 4 = 10.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 5Dörd nöqtəlik qruplar sayılıb (5 nöqtədən birini kənarda qoymaq — 5 yol). Müstəvini isə üç nöqtə təyin edir, ona görə üçlükləri saymaq lazımdır.
- 20Sıralı seçmələrin sayı 5·4·3 = 60 yalnız 3-ə bölünüb. Eyni üç nöqtə 3·2·1 = 6 müxtəlif sırada seçilir, ona görə 60 : 6 = 10.
- 30Sıralı seçmələrin sayı 60 yalnız 2-yə bölünüb. Hər üçlük 6 dəfə sayılıb: 60 : 6 = 10.
- 60Nöqtələr sıra ilə seçilib (5·4·3 = 60). Lakin ABC, BCA, CAB … eyni müstəvidir — hər üçlük 6 dəfə sayılıb.