M nöqtəsindən α müstəvisinə MO perpendikulyarı və MA maili çəkilmişdir. α müstəvisi üzərində A nöqtəsindən keçən a düz xətti MA mailinə perpendikulyardır.
Aşağıdakı təkliflərdən hansı mütləq doğrudur?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Tərs teorem
Əsas fikir
Tərs teorem. «Müstəvi üzərindəki düz xətt müstəviyə çəkilmiş mailə perpendikulyardırsa, onun proyeksiyasına da perpendikulyardır.»
Niyə doğrudur. Müstəvidəki düz xətt həm proyeksiyaya, həm də perpendikulyara (o, müstəvidəki hər düz xəttə perpendikulyardır) perpendikulyardırsa, perpendikulyarla proyeksiyanın təyin etdiyi müstəviyə perpendikulyardır, deməli bu müstəvidəki maile də perpendikulyardır — dərslikdəki isbat belədir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqTərs teorem: proyeksiyaya perpendikulyar
M nöqtəsindən α müstəvisinə MO perpendikulyarı və MA maili çəkilmişdir. α müstəvisi üzərində A nöqtəsindən keçən a düz xətti MA mailinə perpendikulyardır.
Aşağıdakı təkliflərdən hansı mütləq doğrudur?
- MO ⊥ α, ona görə MA — mail, A — onun oturacağı, OA — onun α müstəvisi üzərindəki proyeksiyasıdır.
- a düz xətti α müstəvisindədir, mailin oturacağı A-dan keçir və a ⊥ MA (verilib).
- Tərs teoremə görə a mailin proyeksiyasına da perpendikulyardır: a ⊥ OA.
- Cavab: a ⊥ OA
Üç perpendikulyar haqqında tərs teorem
OA — MA mailinin proyeksiyasıdır; a ⊥ MA olduğundan a ⊥ OA (qırmızı işarə).
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
İsbatla yoxlayaq: a ⊥ MA (verilib) və a ⊥ MO (MO müstəvidəki hər düz xəttə perpendikulyardır); MA və MO kəsişən düz xətlərdir, deməli a MOA müstəvisinə perpendikulyardır və bu müstəvidəki OA-ya da perpendikulyardır.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- a ∥ OAa və OA hər ikisi A nöqtəsindən keçir, ona görə paralel ola bilməzlər (A-da kəsişirlər). Üstəlik, tərs teoremə görə a OA-ya perpendikulyardır.
- a ⊥ αa düz xətti α müstəvisinin üzərindədir; müstəvidə yerləşən düz xətt həmin müstəviyə perpendikulyar ola bilməz.
- MA ⊥ αM nöqtəsindən α müstəvisinə yalnız bir perpendikulyar çəkmək olar — o, MO-dur. MA mail olduğu üçün müstəviyə perpendikulyar deyil.
- a düz xətti O nöqtəsindən keçira düz xətti A-dan keçir və OA-ya perpendikulyardır, ona görə OA düz xəttini yalnız A nöqtəsində kəsir; O ilə A üst-üstə düşmür (MA mail olduğuna görə), deməli a O-dan keçmir.