Aşağıdakı bərabərsizliklərdən neçəsinin həllər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur? Hər bərabərsizlik üçün cavabınızı əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Modul mənfi ola bilməz
Əsas fikir
Modul mənfi ola bilməz: hər x üçün |A| ≥ 0. Ona görə sağ tərəf c < 0 olduqda |A| < c və |A| ≤ c bərabərsizliklərinin həlli yoxdur, |A| > c və |A| ≥ c isə bütün ədədlərdə ödənir.
c = 0 olduqda: |A| < 0 — həlli yoxdur; |A| ≤ 0 ⇔ A = 0 (bir nöqtə); |A| ≥ 0 — bütün ədədlər; |A| > 0 ⇔ A ≠ 0 (bir nöqtədən başqa bütün ədədlər).
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqHəllər çoxluğu bütün ədədlər olan modullu bərabərsizliklər
Aşağıdakı bərabərsizliklərdən neçəsinin həllər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər çoxluğudur? Hər bərabərsizlik üçün cavabınızı əsaslandırın.
1) |x − 4| > −2
2) |x + 1| > 0
3) |3 − x| ≥ 0
4) |x| ≤ 0
5) |2x + 1| < −5
- Əsas fakt: hər x üçün modul mənfi deyil, |A| ≥ 0.
- 1) |x − 4| ≥ 0 > −2 — hər x üçün doğrudur: bütün ədədlər.
- 2) |x + 1| > 0 yalnız x + 1 ≠ 0 olduqda doğrudur; x = −1‑də 0 > 0 doğru deyil. Həllər (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) — bütün ədədlər deyil.
- 3) |3 − x| ≥ 0 hər x üçün doğrudur (bərabərlik də buraxılır): bütün ədədlər.
- 4) |x| ≤ 0 yalnız |x| = 0, yəni x = 0 olduqda ödənir — həlli bir ədəddir.
- 5) |2x + 1| < −5: mənfi olmayan ədəd mənfi ədəddən kiçik ola bilməz — həlli yoxdur.
- Həllər çoxluğu bütün həqiqi ədədlər olanlar 1‑ci və 3‑cü bərabərsizliklərdir — cəmi 2.
- Cavab: 2
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
x = −1 yoxlayaq: 1) 5 > −2 ✓, 3) 4 ≥ 0 ✓, amma 2) 0 > 0 ✗. x = 1: 4) 1 ≤ 0 ✗. 5) heç bir x‑də ödənmir (sol tərəf ≥ 0). Yalnız 1‑ci və 3‑cü hər yoxlanan x‑də ödənir ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 0Sağ tərəfi mənfi və ya sıfır olan bərabərsizliklərin hamısında «həlli yoxdur» deyilib. Amma |x − 4| > −2 hər x üçün doğrudur: sol tərəf ən azı 0‑dır və 0 > −2.
- 1|3 − x| ≥ 0 bütün ədədlər sayılmayıb (məsələn, x = 3 atılıb). Qeyri-ciddi işarə bərabərliyi daxil edir: |0| = 0 ≥ 0 doğrudur.
- 3|x + 1| > 0 da bütün ədədlər sayılıb. x = −1‑də |0| = 0 və 0 > 0 doğru deyil — bu nöqtə həll deyil.
- 4Həm |x + 1| > 0, həm də |x| ≤ 0 bütün ədədlər sayılıb. |x| ≤ 0 yalnız x = 0‑da ödənir (məsələn, x = 1: 1 ≤ 0 doğru deyil), |x + 1| > 0 isə x = −1‑də ödənmir.