Sahəsi 400 m² olan düzbucaqlı formalı bağ sahəsinin ətrafı torla hasarlanacaq. 1 metr torun qiyməti 7 manatdır. Hasar üçün tora ən azı neçə manat xərclənməlidir? Cavabı manatla yazın və ədədi orta ilə həndəsi orta arasındakı bərabərsizliklə əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Ədədi orta həndəsi ortadan kiçik deyil
Əsas fikir
Ədədi orta və həndəsi orta: mənfi olmayan a və b üçün a + b2 / ≥ √ab; dərslik bunu a + b2 / − √ab = (√a − √b)²2 / ≥ 0 ilə isbat edir. «Burada bərabərlik yalnız a = b olduqda mümkündür.» Buradan: hasili sabit olan iki müsbət ədədin cəmi ədədlər bərabər olanda ən kiçikdir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqBağ sahəsinin hasarı: ən az xərc
Sahəsi 400 m² olan düzbucaqlı formalı bağ sahəsinin ətrafı torla hasarlanacaq. 1 metr torun qiyməti 7 manatdır. Hasar üçün tora ən azı neçə manat xərclənməlidir? Cavabı manatla yazın və ədədi orta ilə həndəsi orta arasındakı bərabərsizliklə əsaslandırın.
Sahəsi 400 m² olan düzbucaqlılar
| Ölçülər (m) | Sahə (m²) | Perimetr (m) | Xərc (manat) |
|---|---|---|---|
| 10 × 40 | 400 | 100 | 700 |
| 16 × 25 | 400 | 82 | 574 |
| 20 × 20 | 400 | 80 | 560 |
- Sahənin tərəfləri a m və b m olsun: ab = 400, a > 0, b > 0. Tor uzunluğu perimetrdir: P = 2(a + b).
- Ədədi orta ilə həndəsi orta: a + b2 / ≥ √ab = √400 = 20, yəni a + b ≥ 40.
- Hər iki tərəfi müsbət 2‑yə vururuq: P = 2(a + b) ≥ 80 m. Bərabərlik yalnız a = b olanda: a = b = 20 m (20 · 20 = 400 ✓) — sahə kvadratdır.
- Ən az tor 80 m‑dir; xərc: 80 · 7 = 560 manat.
- Cavab: Tora ən azı 560 manat xərclənməlidir (sahə 20 m × 20 m kvadrat olanda).
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
20 · 20 = 400 m² ✓; P = 4 · 20 = 80 m; 80 · 7 = 560 manat. Başqa ölçülər daha çox tor tələb edir: 16 m × 25 m üçün 82 m (574 manat), 10 m × 40 m üçün 100 m (700 manat).
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 140 manatYalnız kvadratın bir tərəfi (20 m) üçün xərc hesablanıb: 20 · 7 = 140. Hasar dörd tərəfin hamısını əhatə edir.
- 280 manatYarımperimetr götürülüb: a + b ≥ 40, 40 · 7 = 280. Tor uzunluğu perimetrdir: P = 2(a + b) ≥ 80 m.
- 700 manatBu, 10 m × 40 m sahə üçündür: P = 100 m, 100 · 7 = 700. Belə hasar mümkündür, amma ən ucuzu deyil — kvadrat formada perimetr ən kiçikdir.
- 2800 manatSahə torun qiymətinə vurulub: 400 · 7 = 2800. Tor uzunluğu sahə ilə deyil, perimetrlə ölçülür.