Mətn
ABC üçbucağında MN ∥ AC (M nöqtəsi AB, N nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir), BM : MA = 3 : 1 və MBN üçbucağının sahəsi 36 sm²‑dir (şəkil). AMNC trapesiyasının sahəsini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Paralel düz xətt oxşar üçbucaq ayırır
Əsas fikir
Paralel düz xətt. Üçbucağın bir tərəfinə paralel olub digər iki tərəfini kəsən düz xətt ondan oxşar üçbucaq ayırır: MN ∥ AC olarsa, ∆MBN ∼ ∆ABC və k = BM : BA (bütöv tərəfə görə, MA-ya görə yox).
Teorem. Dərslik: «İki oxşar üçbucağın sahələrinin nisbəti uyğun tərəflərin kvadratları nisbətinə bərabərdir.» S∆ABC : S∆A₁B₁C₁ = (AC : A₁C₁)² = k².
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqParalel düz xəttin ayırdığı trapesiya
ABC üçbucağında MN ∥ AC (M nöqtəsi AB, N nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir), BM : MA = 3 : 1 və MBN üçbucağının sahəsi 36 sm²‑dir (şəkil). AMNC trapesiyasının sahəsini tapın.
- MN ∥ AC olduğundan ∆MBN ∼ ∆ABC. BA = BM + MA = 3 + 1 = 4 hissə, ona görə k = BM : BA = 3/4.
- Sahələr nisbəti: SMBN : SABC = (3/4)² = 9/16.
- SABC = 36 · 16/9 = 64 sm².
- SAMNC = SABC − SMBN = 64 − 36 = 28 sm².
- Cavab: S = 28 sm²
ABC üçbucağı, MN ∥ AC, BM : MA = 3 : 1
∆MBN ∼ ∆ABC, k = 3/4: S(ABC) = 36 · 16/9 = 64 sm², trapesiya 64 − 36 = 28 sm².
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
28 + 36 = 64 və 36 : 64 = 9/16 = (3/4)² ✓; trapesiyanın payı 7/16‑dır, üçbucağınkından az, çünki MN yuxarıda — B-dən 3/4 məsafədədir.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 64 sm²Bu, bütöv ABC üçbucağının sahəsidir. Trapesiya üçün ondan MBN üçbucağının sahəsini çıxmaq lazımdır: 64 − 36 = 28.
- 12 sm²Sahələr xətti əmsalla hesablanıb: SABC = 36 · 4/3 = 48 və 48 − 36 = 12. Sahələr k²‑a görə dəyişir.
- 4 sm²BM : MA = 3 : 1 oxşarlıq əmsalı sayılıb və 36 : 3² = 4 alınıb. Oxşar olan MBN və ABC üçbucaqlarıdır, əmsal BM : BA = 3/4‑dür.
- 100 sm²Bütöv üçbucağın sahəsinə (64) MBN üçbucağının sahəsi yenidən əlavə olunub. Trapesiya üçbucağın bir hissəsidir, ondan kiçikdir.