Bağın planında (1 vahid = 1 m) bağın küncü koordinat başlanğıcındadır: cığır absis oxu, hasar isə ordinat oxu boyunca uzanır, bağ I rübdədir. Çiləyici P(4; 3) nöqtəsində yerləşir və ondan 5 m-ə qədər məsafədə olan sahəni suvarır.
Cığırın və hasarın birlikdə neçə metrlik hissəsi suvarılan sahəyə düşür? Həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Dairə və çevrənin tənliyi
Əsas fikir
Dərslikdən. Mərkəzi M(a; b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin üzərindəki istənilən N(x; y) nöqtəsi üçün iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə √((x − a)² + (y − b)²) = r. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəltməklə çevrənin tənliyi alınır:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Mərkəz koordinat başlanğıcında olduqda tənlik x² + y² = r² şəklindədir. Çevrə üzərindəki istənilən nöqtənin koordinatları bu tənliyi ödəyir və tərsinə, koordinatları tənliyi ödəyən nöqtə çevrənin üzərindədir.
Dərslikdən. Çevrə müstəvinin nöqtələrini iki çoxluğa ayırır: dairənin nöqtələri üçün (x − a)² + (y − b)² ≤ r², dairənin xaricindəki nöqtələr üçün isə (x − a)² + (y − b)² > r². Bərabərlik olduqda nöqtə çevrənin üzərində, «<» olduqda çevrənin daxilindədir.
Çevrənin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrində y = 0, ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtələrində x = 0 olur: bu qiyməti çevrənin tənliyində yerinə yazıb alınan kvadrat tənliyi həll edirik. Eyni ox üzərindəki iki nöqtə arasındakı məsafə onların uyğun koordinatlarının fərqinin moduludur.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqÇiləyicinin isladığı cığır və hasar
Bağın planında (1 vahid = 1 m) bağın küncü koordinat başlanğıcındadır: cığır absis oxu, hasar isə ordinat oxu boyunca uzanır, bağ I rübdədir. Çiləyici P(4; 3) nöqtəsində yerləşir və ondan 5 m-ə qədər məsafədə olan sahəni suvarır.
Cığırın və hasarın birlikdə neçə metrlik hissəsi suvarılan sahəyə düşür? Həllinizi əsaslandırın.
- Suvarılan sahə mərkəzi P(4; 3), radiusu 5 olan dairədir: (x − 4)² + (y − 3)² ≤ 25.
- Cığır: y = 0. (x − 4)² + 9 ≤ 25 ⇒ (x − 4)² ≤ 16 ⇒ 0 ≤ x ≤ 8: cığırın (0; 0)-dan (8; 0)-a qədər hissəsi, 8 m.
- Hasar: x = 0. 16 + (y − 3)² ≤ 25 ⇒ (y − 3)² ≤ 9 ⇒ 0 ≤ y ≤ 6: hasarın (0; 0)-dan (0; 6)-ya qədər hissəsi, 6 m. Hər iki hissə bağın sərhədindədir (x ≥ 0, y ≥ 0).
- Birlikdə: 8 + 6 = 14 m.
- Cavab: 14 m
Çiləyicinin suvardığı sahə
Çiləyici P(4; 3), radius 5 m; cığırın 8 m-lik və hasarın 6 m-lik hissəsi (yaşıl) suvarılır.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Yoxlama: bağın küncü O(0; 0) dairənin sərhədindədir: 4² + 3² = 25 ✓; (8; 0): 16 + 9 = 25 ✓, (0; 6): 16 + 9 = 25 ✓ — suvarılan hissələrin ucları çevrənin üzərindədir.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 8Yalnız cığırın suvarılan hissəsi hesablanıb; hasarın (0; 0)-dan (0; 6)-ya qədər olan 6 m-lik hissəsi də suvarılır.
- 6Yalnız hasarın suvarılan hissəsi hesablanıb; cığırın (0; 0)-dan (8; 0)-a qədər olan 8 m-lik hissəsi də suvarılır.
- 20Hər iki oxun dairəni diametr boyunca kəsdiyi sanılıb: 10 + 10. Oxlar mərkəzdən keçmir (mərkəz P(4; 3)), ona görə hər biri dairəni diametrdən qısa parça boyunca kəsir.
- 7Hər oxda suvarılan hissənin yalnız yarısı götürülüb: 4 + 3. Mərkəzin oxa proyeksiyası suvarılan hissənin ortasıdır; hissələr 2 · 4 = 8 m və 2 · 3 = 6 m-dir.