ABCD paraleloqramının üç təpəsi verilmişdir: A(−2; −1), B(1; 3), C(7; 1). BD diaqonalının uzunluğunu tapın. Həllinizi əsaslandırın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Paraleloqramda bərabər vektorlar
Əsas fikir
ABCD paraleloqramında AB və DC tərəfləri paralel, bərabər və eyni istiqamətlidir, ona görə AB = DC. Təpələrin sırası vacibdir: A-dan B-yə və D-dən C-yə.
Dərslik: «Bərabər vektorların uyğun komponentləri bərabərdir. Tərsinə, vektorların uyğun komponentləri bərabərdirsə, onda vektorlar bərabərdir.» Naməlum nöqtəni (x; y) ilə işarə edib vektorun komponentlərini yazırıq və uyğun komponentləri bərabərləşdiririk: iki sadə tənlik alınır.
Dərslik: «AB = ⟨a; b⟩ vektorunun uzunluğu
|AB| = √a² + b²
düsturu ilə hesablanır.» Komponentlər düzbucaqlı üçbucağın katetləri, vektor isə onun hipotenuzu kimidir (Pifaqor teoremi). Mənfi komponentin kvadratı müsbətdir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqParaleloqramın dördüncü təpəsi və diaqonalı
ABCD paraleloqramının üç təpəsi verilmişdir: A(−2; −1), B(1; 3), C(7; 1). BD diaqonalının uzunluğunu tapın. Həllinizi əsaslandırın.
- Paraleloqramda AB = DC (qarşı tərəflər paralel, bərabər və eyni istiqamətlidir).
- AB = ⟨1 − (−2); 3 − (−1)⟩ = ⟨3; 4⟩. D(x; y) olsun: DC = ⟨7 − x; 1 − y⟩.
- Komponentləri bərabərləşdirək: 7 − x = 3, 1 − y = 4; buradan x = 4, y = −3, yəni D(4; −3).
- BD = ⟨4 − 1; −3 − 3⟩ = ⟨3; −6⟩, |BD| = √3² + (−6)² = √45 = 3√5.
- Cavab: 3√5
ABCD paraleloqramı və BD diaqonalı
Bərabər AB və DC vektorları D(4; −3) təpəsini verir; qırmızı ox BD diaqonalıdır: 3 xana sağa, 6 xana aşağı.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
AD = ⟨6; −2⟩ və BC = ⟨6; −2⟩ də bərabərdir — ABCD həqiqətən paraleloqramdır; 3√5 ≈ 6,7 ✓.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- √85Bu, digər diaqonalın — AC-nin uzunluğudur: AC = ⟨9; 2⟩. Eyni ədəd D təpəsi səhv sırada götürüləndə də alınır (məsələn, D = (10; 5) olsa BD = ⟨9; 2⟩), lakin onda dördbucaqlı ABDC olur, ABCD yox.
- 2√10Bu, BC tərəfinin uzunluğudur: BC = ⟨6; −2⟩, √40 = 2√10. Diaqonal B-ni qarşı təpə D ilə birləşdirir.
- 5Bu, AB tərəfinin uzunluğudur: AB = ⟨3; 4⟩.
- 9BD = ⟨3; −6⟩ düz tapılıb, lakin uzunluq əvəzinə komponentlərin modulları toplanıb: 3 + 6 = 9.