Cəbrin əsas teoremi: dördüncü dərəcə, dörd kök

Mətn (transkript)

Gəlin dərsliyimizdəki bir tapşırıqla başlayaq. Dəftərinizə belə bir çoxhədli yazın: iksin dördüncü dərəcəsi, minus bir. Sual çox sadədir: bu çoxhədlinin kökləri hansılardır? Yəni iksin yerinə hansı ədədi yazsaq, sıfır alınar? Dördüncü dərəcəsi birə bərabər olan ədəd axtarırıq. Birincisi dərhal ağla gəlir: bir. Bir az düşünsəniz, ikincisini də taparsınız: mənfi bir. Çünki mənfi birin cüt dərəcəsi müsbət birdir. Bir və mənfi birdən başqa həqiqi kök tapa bilməyəcəksiniz. Bunun səbəbini dərsin sonunda görəcəyik. Amma çoxhədlinin dərəcəsi dörddür. Bu gün öyrənəcəyimiz teorem isə deyir ki, dördüncü dərəcəli çoxhədlinin, təkrarlanan kökləri də sayanda, düz dörd kökü var. Deməli, iki kök hələ də itkindir. Onlar harada gizlənib? Bu suala cavab vermək üçün cəbrin əsas teoremi ilə tanış olacağıq. Əvvəlcə teoremin özünü eşidəcəyik, sonra onun çoxhədlini necə vuruqlara ayırdığını, köklərin necə cüt-cüt gəldiyini görəcəyik, ən sonda isə itkin kökləri tapacağıq. Əvvəlcə iki tanış fikri xatırlayaq. Birincisi: çoxhədlinin kökü onu sıfıra çevirən ədəddir. Vuruqlar haqqında teoremə görə, bir ədəd çoxhədlinin köküdürsə, iks minus həmin ədəd bu çoxhədlinin vuruğudur. İkincisi: kompleks ədədlər. Kvadratı mənfi birə bərabər olan ədədə xəyali vahid deyilir və o, i hərfi ilə işarə olunur. Kompleks ədəd a üstəgəl b i şəklində yazılır, burada a və b həqiqi ədədlərdir. İndi iks kvadrat üstəgəl bir çoxhədlisinə baxaq. Həqiqi ədədin kvadratı heç vaxt mənfi olmur. Ona görə iks kvadrat üstəgəl bir ən azı birə bərabərdir və sıfır ola bilməz. Deməli, həqiqi ədədlər arasında bu çoxhədlinin kökü yoxdur. Amma kompleks ədədlərdə var. Xəyali vahidin kvadratı mənfi birdir, üstünə bir əlavə edəndə sıfır alınır. Həqiqi ədədlərdə kökü olmayan çoxhədli kompleks ədədlərdə kök tapdı. Bəs bu, hər çoxhədli üçün doğrudurmu? Bəli. Dərsliyimiz bunu cəbrin əsas teoremi adlandırır, mötərizədə isə onun ikinci adını yazır: Qauss teoremi. Teorem belə səslənir: dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var. Dərslik bu teoremi sübutsuz verir. Biz də onu hazır bir zəmanət kimi qəbul edəcəyik. Teoremdəki iki ifadəyə diqqət edin. «Dərəcəsi sıfırdan böyük» ona görə deyilir ki, sabit ədəd, məsələn, beş, heç vaxt sıfıra çevrilmir və onun kökü yoxdur. «Ən azı bir» isə o deməkdir ki, teorem yalnız bir kökün varlığına zəmanət verir. Onu necə tapmağı demir. Amma indi görəcəyimiz kimi, bu bircə zəmanət çox şey verir. Gəlin bir zəmanətdən bütün köklərə gedək. Dərəcəsi beş olan bir çoxhədli götürək. Teoremə görə onun ən azı bir kökü var. Vuruqlar haqqında teoremə görə, iks minus həmin kök bu çoxhədlinin vuruğudur. Çoxhədlini bu ikihədliyə bölək. Qismətin dərəcəsi bir vahid azalır və dörd olur. Qismət də çoxhədlidir, dərəcəsi sıfırdan böyükdür, deməli, teorem ona da aiddir. Onun da bir kökü var və yenə bir vuruq ayırırıq. Bu, pilləkənlə aşağı düşməyə bənzəyir. Hər pillədə teorem bir kök verir, dərəcə isə bir vahid azalır: beş, dörd, üç, iki, bir. Ən sonda dərəcə sıfır olur və əlimizdə yalnız bir ədəd qalır: çoxhədlinin baş əmsalı. Nəticədə çoxhədli baş əmsalla beş xətti vuruğun hasilinə ayrılır. Hər xətti vuruq isə bir kök deməkdir. Dərslik buradan bir nəticə çıxarır. Dərəcəsi sıfırdan böyük hər çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda, təkrarlanan köklər də daxil olmaqla, dərəcəsi qədər kökü var. Sadə dillə: dərəcə neçədirsə, kök də o qədərdir. Yalnız bir şərtlə: eyni kök bir neçə dəfə sayıla bilər. Dərslik özü də xəbərdarlıq edir ki, bu köklər müxtəlif olmaya bilər. Dərslikdəki tapşırıqlardan birinə baxaq. Çoxhədli vuruqlara ayrılmış şəkildə verilib: iks minus bir mötərizəsinin kubu, vurulsun iks minus dörd mötərizəsinin kvadratına. İks minus bir vuruğu üç dəfə təkrarlanır, ona görə bir ədədi üç dəfə təkrarlanan kökdür. İks minus dörd iki dəfə təkrarlanır, ona görə dörd ədədi iki dəfə təkrarlanan kökdür. Üç üstəgəl iki, beş edir. Çoxhədlinin dərəcəsi beşdir və təkrarlarla birlikdə beş kökü var, baxmayaraq ki, fərqli kökləri cəmi ikidir. İndi köklərin necə gəldiyinə qulaq asaq. Əmsalları həqiqi ədədlər olan çoxhədlilərdə kompleks köklər tək gəlmir. Dərslik qeyd edir: a üstəgəl b i ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlinin köküdürsə, onun qoşması, a minus b i ədədi də bu çoxhədlinin köküdür. Xatırlayaq: qoşma ədəddə həqiqi hissə eyni qalır, yalnız xəyali hissənin işarəsi dəyişir. İks kvadrat üstəgəl birin kökləri də belədir: xəyali vahid i, və onun qoşması, yəni xəyali vahidin mənfisi. Bu qayda çoxhədli qurmağa da kömək edir. Dərsliyin nümunəsində baş əmsalı iki, kökləri üç və bir üstəgəl i olan, ən kiçik dərəcəli, həqiqi əmsallı çoxhədli axtarılır. Əmsallar həqiqi olmalıdır, deməli, bir üstəgəl i ilə yanaşı onun qoşması, bir minus i də kök olmalıdır. Beləliklə, üç kök və üç vuruq alınır: iks minus üç, iks minus bir minus i, və iks minus bir üstəgəl i. Son iki vuruğu vuranda maraqlı hadisə baş verir. Hər ikisində iks minus bir hissəsi var, onlar yalnız i-nin qarşısındakı işarə ilə fərqlənir. Belə hasil kvadratlar fərqidir: iks minus bir mötərizəsinin kvadratından i-nin kvadratı çıxılır. i-nin kvadratı mənfi bir olduğu üçün çıxma toplamaya çevrilir, və hasil iks kvadrat minus iki iks üstəgəl iki olur. Xəyali vahid tamamilə yox oldu! Cavab belədir: iki, vurulsun iks minus üçə, vurulsun iks kvadrat minus iki iks üstəgəl ikiyə. Dərəcəsi üçdür, bütün əmsalları isə həqiqidir. Bu nümunə ümumi bir mənzərəni göstərir. Dərsliyə görə, istənilən həqiqi əmsallı çoxhədli baş əmsalla iki növ vuruğun hasilinə ayrılır. Hər həqiqi kökə, iks minus həmin kök şəklində, bir xətti vuruq uyğun gəlir. Hər qoşma kompleks kök cütünə isə həqiqi əmsallı bir kvadrat üçhədli uyğun gəlir, eynilə indicə aldığımız kimi. Bu mənzərədən gözəl bir nəticə çıxır. Hər kvadrat üçhədli dərəcəyə iki əlavə edir, ona görə kvadrat üçhədlilərin dərəcələri cəmi həmişə cüt ədəddir. Çoxhədlinin dərəcəsi təkdirsə, məsələn, üç və ya beşdirsə, onu yalnız kvadrat üçhədlilərdən düzəltmək olmaz. Ən azı bir xətti vuruq lazımdır, xətti vuruq isə həqiqi kök deməkdir. Dərslik bunu belə deyir: əmsalları həqiqi ədədlər olan təkdərəcəli çoxhədlinin heç olmasa bir həqiqi kökü həmişə var. Məsələn, həqiqi əmsallı istənilən kub çoxhədlinin üç kökündən ən azı biri həqiqidir. Cüt dərəcəli çoxhədlidə isə belə zəmanət yoxdur. İks kvadrat üstəgəl birin heç bir həqiqi kökü yoxdur, onun hər iki kökü kompleks ədəddir. İndi itkin köklərə qayıdaq. İksin dördüncü dərəcəsi, minus bir. Bu ifadə kvadratlar fərqidir: iks kvadratın kvadratından birin kvadratı çıxılır. Ona görə o, iks kvadrat minus bir ilə iks kvadrat üstəgəl birin hasilinə bərabərdir. Birinci vuruq bizə tanış iki kökü verir: bir və mənfi bir. İkinci vuruq isə dərsin əvvəlindən tanışdır: iks kvadrat üstəgəl bir. Onun həqiqi kökü yoxdur. Elə buna görə də əvvəldə üçüncü həqiqi kök tapa bilmədik. İtkin iki kök məhz buradadır: xəyali vahid i, və onun qoşması, xəyali vahidin mənfisi. Yoxlayaq. i-nin dördüncü dərəcəsi onun kvadratının kvadratıdır, yəni mənfi birin kvadratı, bu da birdir. Birdən bir çıxanda sıfır alınır. Beləliklə, dördüncü dərəcəli çoxhədlinin düz dörd kökü var: iki həqiqi kök, bir və mənfi bir, və iki kompleks kök, i və mənfi i. Dərsliyin cavabı da məhz budur. Mənzərə də tamdır: iki həqiqi kök iki xətti vuruq verir, bir qoşma cüt isə bir kvadrat üçhədli. Eyni tapşırıqda daha iki çoxhədli var: iksin kubu üstəgəl bir, və iksin altıncı dərəcəsi minus bir. Teorem əvvəlcədən deyir ki, birincinin üç kökü, ikincinin isə altı kökü olmalıdır. Birincinin dərəcəsi tək olduğu üçün, onun ən azı bir kökü həqiqidir, məsələn, mənfi bir. Qalanlarını özünüz axtarın. Gəlin əsas fikri bir daha deyək. Cəbrin əsas teoremi, yəni Qauss teoremi, zəmanət verir ki, dərəcəsi sıfırdan böyük hər çoxhədlinin kompleks ədədlərdə ən azı bir kökü var. Bu zəmanəti pillə-pillə tətbiq edəndə, çoxhədli xətti vuruqlara ayrılır və təkrarları da sayanda, dərəcəsi qədər kökü olur. Əmsallar həqiqidirsə, kompleks köklər qoşma cütlərlə gəlir, tək dərəcəli çoxhədlinin isə həqiqi kökü mütləq var. Addım-addım həlləri və daha çox nümunəni yazılı dərsimizdə tapa bilərsiniz.