Dronun enişi: kub modelin həqiqi və kompleks kökləri — Sual · 6.6 Cəbrin əsas teoremi

Mətn

Dron 10 m hündürlükdən enməyə başlayır. Enişin t-ci saniyəsində onun yerdən hündürlüyü (metrlə) aşağıdakı funksiya ilə modelləşdirilir:

h(t) = -t^{3} + 6t^{2} - 13t + 10

Dron enişə başladıqdan neçə saniyə sonra yerə enəcək (h(t) = 0)?

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Qayda

Cəbrin əsas teoremi. Dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var.

Nəticə. n dərəcəli çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda təkrarlanan köklər də daxil olmaqla n sayda kökü var.

Tətbiq məsələsində bütün kökləri tapırıq, sonra şərtə uyğun olmayanları (mənfi vaxt, həqiqi olmayan ədəd) atırıq.

2 · Həll

MəsələDronun enişi: kub modelin həqiqi və kompleks kökləri

Dronun hündürlüyü h(t) = −t³ + 6t² − 13t + 10 (m). Dron neçə saniyədən sonra yerə enir?

Tənliyi qururuq. h(t) = 0 ⇔ t³ − 6t² + 13t − 10 = 0.
Namizədləri yoxlayırıq. Tam köklər 10‑un bölənləri arasındadır. t = 1: 1 − 6 + 13 − 10 = −2 ≠ 0; t = 2: 8 − 24 + 26 − 10 = 0.
Sintetik bölmə. 2 | 1 −6 13 −10 → 1 −4 5 | 0; (t − 2)(t² − 4t + 5) = 0.
Qalan köklər. t² − 4t + 5 = 0: D = −4, t = (4 ± 2i)/2 = 2 ± i — kompleks ədədlərdir, vaxtı göstərə bilməz.
Seçim. Üç kökdən şərtə yalnız t = 2 uyğundur: dron 2 saniyədən sonra yerə enir.

Cavab: 2 s

Dronun hündürlüyünün qrafiki

Dronun hündürlüyü 10 m-dən azalır və t = 2 s anında sıfıra çatır. Tənliyin digər iki kökü (2 ± i) həqiqi ədəd deyil, ona görə qrafikdə görünmür.

3 · Yoxlama

h(2) = −8 + 24 − 26 + 10 = 0. Qrafikdə hündürlük 10 m-dən başlayıb azalır və t = 2‑də sıfıra çatır; kompleks köklər qrafikdə görünmür.

4 · Diqqət

Səhv yanaşma

t = 2 ± i də eniş anıdır

Kompleks ədəd vaxt ola bilməz.

Düzgün

Yalnız həqiqi və şərtə uyğun kök: t = 2

Kompleks köklər var, lakin fiziki mənası yoxdur.

Digər cavablar niyə səhvdir

1 s — 1 rasional kök namizədidir, amma yoxlanmayıb: h(1) = −1 + 6 − 13 + 10 = 2 ≠ 0 — dron hələ 2 m hündürlükdədir.
4 s — Bu, t² − 4t + 5 = 0 tənliyinin kompleks köklərinin cəmidir ((2 + i) + (2 − i) = 4), kök deyil: h(4) = −10 ≠ 0.
5 s — 5 ədədi 10‑un bölənidir (və t² − 4t + 5‑in sərbəst həddidir), lakin kök deyil: h(5) = −125 + 150 − 65 + 10 = −30 ≠ 0.
10 s — Bu, h(0) = 10 — başlanğıc hündürlükdür (metr), vaxt deyil.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23; «Tətbiq tapşırıqları», səh. 24.