Həqiqi əmsallı çoxhədlinin kökləri haqqında təkliflər — Sual · 6.6 Cəbrin əsas teoremi

Mətn

P(x) həqiqi əmsallı çoxhədlidir. Aşağıdakı təkliflərə baxın:

I. P(x)-in dərəcəsi 3-dürsə, onun ən azı bir həqiqi kökü var.

II. P(x)-in dərəcəsi 4-dürsə, onun ən azı bir həqiqi kökü var.

III. 2 + i ədədi P(x)-in köküdürsə, x² − 4x + 5 üçhədlisi P(x)-in vuruğudur.

Hansı təkliflər doğrudur?

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Qayda

Qoşma kök. a + bi ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlinin köküdürsə, qoşma a − bi ədədi də onun köküdür. Bu iki kökə həqiqi əmsallı kvadrat vuruq uyğundur:

(x − a − bi)(x − a + bi) = (x − a)² − (bi)² = (x − a)² + b²

Deməli, həqiqi olmayan köklər cüt-cüt gəlir. Tək dərəcəli həqiqi əmsallı çoxhədlinin ən azı bir həqiqi kökü var.

2 · Həll

MəsələHəqiqi əmsallı çoxhədlinin kökləri haqqında təkliflər

P(x) həqiqi əmsallıdır. I. Dərəcə 3 ⇒ həqiqi kök var. II. Dərəcə 4 ⇒ həqiqi kök var. III. 2 + i kökdürsə, x² − 4x + 5 vuruqdur. Hansılar doğrudur?

Əsas fikir. Həqiqi əmsallı çoxhədlidə a + bi kökdürsə, a − bi də kökdür: həqiqi olmayan köklər cüt-cüt gəlir.
I. Dərəcə 3 ⇒ 3 kök. Həqiqi olmayan köklərin sayı 0 və ya 2 ola bilər, ona görə ən azı 1 kök həqiqidir — doğru.
II. Əks nümunə: (x² + 1)(x² + 4) dərəcəsi 4, kökləri ±i, ±2i — heç biri həqiqi deyil — səhv.
III. 2 + i və 2 − i köklərdir; (x − 2 − i)(x − 2 + i) = (x − 2)² − i² = x² − 4x + 5 — doğru.
Cavab. I və III.

Cavab: I və III

3 · Yoxlama

II-nin əks nümunəsini yoxlayırıq: x² + 1 = 0 ⇒ x = ±i, x² + 4 = 0 ⇒ x = ±2i. Dörd kök var (Nəticə ödənir), amma heç biri həqiqi deyil.

4 · Diqqət

Səhv yanaşma

Dərəcə 4 ⇒ ən azı bir həqiqi kök

Cüt dərəcədə bütün köklər qoşma cütlər ola bilər.

Düzgün

Dərəcə tək ⇒ ən azı bir həqiqi kök

Qoşma cütlər cüt sayda kök verir, biri cütsüz qalır.

Digər cavablar niyə səhvdir

Yalnız I — III də doğrudur: 2 + i kökdürsə, qoşma 2 − i də kökdür və (x − 2 − i)(x − 2 + i) = x² − 4x + 5 vuruqdur.
I və II — II səhvdir: (x² + 1)(x² + 4) dördüncü dərəcəli, həqiqi əmsallıdır, kökləri ±i, ±2i‑dir — həqiqi kökü yoxdur. III isə doğrudur.
II və III — I doğrudur, II səhvdir: təkdərəcəli həqiqi əmsallı çoxhədlinin həmişə həqiqi kökü var (həqiqi olmayan köklər cüt-cüt gəlir, tək dərəcədə bir kök cütsüz qalır), cüt dərəcəli üçün bu zəmanət yoxdur.
I, II və III — II səhvdir: cüt dərəcəli çoxhədlinin bütün kökləri qoşma kompleks cütlər ola bilər, məsələn (x² + 1)(x² + 4).

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23.