Bir kökü məlum olan kub tənliyin kompleks kökləri

1 · Əsas fikir

Bir kökü məlum olan tənliyin digər kökləri

Qayda

Cəbrin əsas teoremi. Dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var.

Nəticə. n dərəcəli çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda təkrarlanan köklər də daxil olmaqla n sayda kökü var.

m kök olduqda P(x) = (x − m)·Q(x); Q(x)-i sintetik bölmə ilə tapıb Q(x) = 0 tənliyini həll edirik. D < 0 olduqda köklər kompleksdir: √D = √|D|·i.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələBir kökü məlum olan kub tənliyin kompleks kökləri

x = 3 ədədi x³ − 5x² + 11x − 15 = 0 tənliyinin köküdür. Digər iki kökü tapın.

1. Sintetik bölmə. 3 | 1 −5 11 −15 → 1 −2 5 | 0. Qalıq 0‑dır, qismət x² − 2x + 5.
2. Vuruqlara ayırırıq. x³ − 5x² + 11x − 15 = (x − 3)(x² − 2x + 5).
3. Diskriminant. D = (−2)² − 4·1·5 = −16 = 16i², √D = 4i.
4. Köklər düsturu. x = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i — kəsrin hər iki hissəsi 2‑yə bölünür.

Cavab: 1 + 2i və 1 − 2i

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(1 + 2i)² − 2(1 + 2i) + 5 = 1 + 4i − 4 − 2 − 4i + 5 = 0. Qoşma 1 − 2i də kökdür. Üç kök (3; 1 + 2i; 1 − 2i) — dərəcə 3.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

(2 ± 4i)/2 = 1 ± 4i

Yalnız həqiqi hissəni 2‑yə bölmək.

Düzgün

(2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i

Kəsrin hər iki hissəsi 2‑yə bölünür.

Digər cavablar niyə səhvdir

• −1 + 2i və −1 − 2i — Köklər düsturunda −b işarəsi səhv götürülüb: x² − 2x + 5 üçün −b = 2‑dir, ona görə x = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.
• 1 + 4i və 1 − 4i — Kəsrin yalnız həqiqi hissəsi 2‑yə bölünüb: (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i olmalıdır.
• 2 + 4i və 2 − 4i — Köklər düsturunda 2a məxrəci unudulub; 2 + 4i ədədi x² − 2x + 5‑i sıfra çevirmir.
• 1 + √6 və 1 − √6 — Diskriminantda işarə səhvi: D = (−2)² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16, 4 + 20 yox. D < 0 olduğundan bu köklər həqiqi deyil.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23.