Mətn (transkript)
Kökləri iki və üç çıx i olan həqiqi əmsallı çoxhədlinin ən azı üç kökü var. Üçüncü kök haradan gəlir? Bu, dərslikdəki onuncu tapşırıqdır. Baş həddin əmsalı bir olmalıdır, bütün əmsallar isə həqiqi ədədlər. Dərəcə mümkün qədər kiçik olmalıdır. Verilən köklər isə cəmi ikidir. Bəs neçə kök lazımdır? Bunu cəbrin əsas teoremi deyir. Teorem belədir. Dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var. Dərslik onu Qauss teoremi də adlandırır və isbatsız verir. Cəmi bir kök az görünür. Amma bu teoremi təkrar-təkrar tətbiq etsək, bütün köklər bir-bir ortaya çıxır. Tutaq ki, çoxhədli en dərəcəlidir. Teorem ona bir kök verir. Vuruqlar haqqında teoremə görə, çoxhədlidən iks çıx bu kök vuruğu ayrılır. Qalan çoxhədlinin dərəcəsi bir vahid azalır. Onun da kökü var, çünki teorem yenə işləyir. Prosesi en dəfə aparırıq. Sonda yalnız baş əmsal qalır, çoxhədli isə en xətti vuruğun hasilinə çevrilir. Amma bu köklər müxtəlif olmaya bilər. Buradan nəticə çıxır. En dərəcəli çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda, təkrarlanan köklər də daxil olmaqla, en sayda kökü var. Onuncu tapşırığın a bəndinə baxaq. Mənfi iki üç dəfə, bir isə iki dəfə təkrarlanan kökdür. Üç üstəgəl iki, beş kök edir. Çoxhədli iks üstəgəl iki ifadəsinin kubu, vurulsun iks çıx bir ifadəsinin kvadratı. Dərəcəsi beşdir. Bəs köklər kompleks olanda nə baş verir? Bə bəndində köklər belədir: bir iki dəfə, sonra i və mənfi i. Son iki kökün vuruqlarını vuraq. İks çıx i, vurulsun iks üstəgəl i, iks kvadrat çıx i kvadrat verir. Çünki i kvadrat mənfi birə bərabərdir, nəticə iks kvadrat üstəgəl birdir. Kompleks vuruqlar yox oldu, əmsallar həqiqidir. Cavab: iks çıx bir ifadəsinin kvadratı, vurulsun iks kvadrat üstəgəl bir. Dərəcəsi dörddür. Bəs mənfi i olmasaydı? Onda əmsallarda mütləq i qalardı. Dərslikdəki qeyd belədir: a üstəgəl bə i kompleks ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlinin köküdürsə, onda qoşma kompleks a çıx bə i ədədi də bu çoxhədlinin köküdür. Yəni həqiqi əmsallı çoxhədlidə kompleks köklər qoşma cütlərlə gəlir. Hər cütün iki vuruğu birlikdə həqiqi əmsallı kvadrat üçhədli verir. Onuncu tapşırığın sirri də elə budur. İndi onuncu tapşırığın ce bəndinə qayıdaq. Üç çıx i kökdürsə, onun qoşması, üç üstəgəl i də kökdür. Üçüncü kök budur! İki qoşma vuruğu vuraq. İks çıx üç ifadəsinin kvadratından i kvadratı çıxırıq. Alınır iks kvadrat çıx altı iks üstəgəl on. Cavab: iks çıx iki, vurulsun iks kvadrat çıx altı iks üstəgəl on. Dərəcəsi üçdür. Amma cütləşmənin daha bir nəticəsi var. Həqiqi əmsallı istənilən çoxhədlini baş əmsalın, xətti vuruqların və kvadrat üçhədlilərin hasili kimi yazmaq olar. Həqiqi köklər xətti vuruq verir, qoşma cütlər isə kvadrat üçhədli. Kvadrat üçhədlilər dərəcəni ikişər-ikişər artırır. Dərəcə təkdirsə, ən azı bir xətti vuruq qalmalıdır. Deməli, əmsalları həqiqi olan təkdərəcəli çoxhədlinin heç olmasa bir həqiqi kökü həmişə var. Bizim üçüncü dərəcəli çoxhədlidə bu kök ikidir. Beləliklə, dərəcə köklərin sayını deyir, qoşmalar isə gizli kökləri göstərir. Üçüncü kök haradan gəldi? Üç çıx i ədədinin qoşmasından: üç üstəgəl i. Həqiqi əmsallar onu tələb edirdi.