Dördüncü dərəcəli tənliyin bütün kökləri — Sual · 6.6 Cəbrin əsas teoremi

Mətn

x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + 4x - 8 = 0

Tənliyin kompleks ədədlər çoxluğunda bütün köklərini tapın.

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

Qayda

Cəbrin əsas teoremi. Dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var.

Nəticə. n dərəcəli çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda təkrarlanan köklər də daxil olmaqla n sayda kökü var.

Rasional kökü tapıb sintetik bölmə aparırıq, qisməti yenidən yoxlayırıq; kvadrat vuruğa çatanda onu kompleks ədədlərdə həll edirik.

2 · Həll

MəsələDördüncü dərəcəli tənliyin bütün kökləri

x⁴ + x³ + 2x² + 4x − 8 = 0 tənliyinin kompleks ədədlər çoxluğunda bütün köklərini tapın.

Namizədlər. Baş əmsal 1, sərbəst hədd −8: tam köklər ±1, ±2, ±4, ±8 arasındadır.
Birinci kök. P(1) = 1 + 1 + 2 + 4 − 8 = 0. Sintetik bölmə: 1 | 1 1 2 4 −8 → 1 2 4 8 | 0.
İkinci kök. Qismət x³ + 2x² + 4x + 8; −2 | 1 2 4 8 → 1 0 4 | 0. Yeni qismət x² + 4.
Kvadrat vuruq. x² + 4 = 0 ⇒ x² = −4 = (2i)² ⇒ x = 2i və x = −2i.
Nəticə. (x − 1)(x + 2)(x² + 4) = 0; köklər 1; −2; 2i; −2i — dörd kök, dərəcə 4.

Cavab: 1; −2; 2i; −2i

3 · Yoxlama

(2i)⁴ + (2i)³ + 2(2i)² + 4·2i − 8 = 16 − 8i − 8 + 8i − 8 = 0. Qoşma −2i də kökdür. Dörd kök tapıldı — dərəcə 4‑dür.

4 · Diqqət

Səhv yanaşma

x² + 4 = 0 ⇒ kök yoxdur

Yalnız həqiqi ədədlərə baxmaq: iki kök itir.

Düzgün

x² + 4 = 0 ⇒ x = ±2i

Kompleks ədədlər çoxluğunda hər çoxhədlinin kökü var.

Digər cavablar niyə səhvdir

1; −2 — Yalnız həqiqi köklər yazılıb. Tənlik 4 dərəcəlidir: Cəbrin əsas teoreminin nəticəsinə görə kompleks ədədlər çoxluğunda 4 kökü var, x² + 4 = 0 tənliyinin kökləri də sayılmalıdır.
−1; 2; 2i; −2i — Rasional köklərin işarəsi səhvdir: P(−1) = −10 ≠ 0, P(2) = 32 ≠ 0. Sıfır verən namizədlər 1 və −2‑dir.
1; −2; 2; −2 — x² + 4 vuruğu x² − 4 kimi götürülüb. x² + 4 = 0 ⇒ x² = −4 ⇒ x = ±2i; həqiqi ±2 bu vuruğu sıfra çevirmir.
1; −2; 4i; −4i — x² = −4 tənliyində kvadrat kök alınmayıb: (4i)² = −16 ≠ −4. Doğrusu x = ±2i.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23.