Cəbrin əsas teoremi

• 6.6
• 11-ci sinif
• Çoxhədlilər

Cəbrin əsas teoremi

x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5 qrafiki x oxuna yalnız bir nöqtədə toxunur. Bəs bu çoxhədlinin neçə kökü var? Cavab: dörd — biri iki dəfə sayılır, ikisi isə qrafikdə ümumiyyətlə görünmür.

Bu dərsdə

• n dərəcəli çoxhədlinin təkrarlananlar daxil n kökü olduğunu teorem və vuruqlara ayrılışla izah edəcəksən;
• bir-iki kök tapıb tənliyi kompleks köklərinə qədər tam həll edəcəksən;
• qoşma köklərdən istifadə edib verilən köklərə görə həqiqi əmsallı çoxhədli quracaqsan.

Dördüncü dərəcəli çoxhədlinin qrafiki və dörd kökü

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Teorem
3. Qoşma köklər
4. Qrafikdə
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Özünü yoxla
8. Yekun

1 · Kəşf et

Bütün kökləri tapaq

Dərslik mövzunu bu nümunə ilə açır: P(x) = x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5 çoxhədlisinin bütün köklərini tapaq. Lazım olan alətləri artıq bilirsən: rasional köklər haqqında teorem, sintetik bölmə və kvadrat tənliyin kompleks kökləri.

NümunəDərslikdəki açılış nümunəsi

P(x) = x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5 çoxhədlisinin bütün köklərini tapın.

1. Baş əmsal 1, sərbəst hədd 5-dir, ona görə rasional köklər (varsa) yalnız ±1, ±5 ola bilər. Yoxlayaq: P(1) = 1 − 6 + 14 − 14 + 5 = 0. Deməli, x = 1 kökdür.
2. Sintetik bölmə ilə digər vuruğu tapırıq: 1 1 −6 14 −14 5 1 −5 9 −5 1 −5 9 −5 0 P(x) = (x − 1)(x3 − 5x2 + 9x − 5).
3. Yeni vuruqda da 1 kökdür (1 − 5 + 9 − 5 = 0). Yenə bölürük: 1 1 −5 9 −5 1 −4 5 1 −4 5 0 P(x) = (x − 1)2(x2 − 4x + 5).
4. Qalan kvadrat üçhədlinin diskriminantı mənfidir: D = 16 − 20 = −4. Kompleks köklər: x = (4 ± 2i) : 2 = 2 ± i. x1 = x2 = 1, x3 = 2 + i, x4 = 2 − i

Dörd dərəcəli çoxhədlinin dörd kökü alındı: 1 kökü iki dəfə təkrarlanır (vuruq (x − 1)2), 2 ± i isə kompleks köklərdir. Hər dəfə bir kök tapanda bir (x − r) vuruğunu «soyduq» və qalan çoxhədlinin dərəcəsi 1 azaldı:

Hər kök bir xətti vuruq ayırır

Başla Yenidən Yenidən

Hər sıra bir addımdır: rəngli xanalar tapılan köklər (mavi — həqiqi, narıncı — kompleks), boş xanalar hələ ayrılmamış Q vuruğu, sağdakı rəqəm isə Q-nun dərəcəsidir. Sonda Q = 1 (baş əmsal) qalır.

Bəs bu hər çoxhədlidə belə olurmu? Burada kökləri tapmaq asan idi. Ümumi halda sual belədir: qalan Q vuruğunun həmişə kökü varmı? Cavabı cəbrin əsas teoremi verir.

2 · Teorem

Hər çoxhədlinin kökü var

Cəbrin əsas teoremi (Qauss teoremi)

Teorem. Dərəcəsi sıfırdan böyük olan istənilən çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda ən azı bir kökü var.

Dərslik teoremi isbatsız verir. Diqqət et: söhbət kompleks kökdən gedir. Həqiqi kök olmaya bilər — məsələn, x2 + 1-in həqiqi kökü yoxdur, kompleks kökləri isə ±i-dir.

Teoremi vuruqlar haqqında teoremlə birləşdirək. P(x) = anxn + … + a1x + a0 dərəcəsi n > 0 olan çoxhədli olsun (əmsallar kompleks də ola bilər):

1. Teoremə görə P(x)-in ən azı bir kökü var: r1. Vuruqlar teoreminə görə P(x) = (x − r1)Q1(x), burada Q1 çoxhədlisi n − 1 dərəcəlidir.
2. n − 1 > 0 olarsa, teorem Q1-ə də aiddir: onun kökü r2, Q1(x) = (x − r2)Q2(x), Q2-nin dərəcəsi n − 2.
3. Hər addımda dərəcə 1 azalır. Prosesi n dəfə aparsaq, nəhayət, Qn(x) = an olar.
4. Deməli, P(x) = an(x − r1)(x − r2) … (x − rn). Bu köklər müxtəlif olmaya bilər.

Nəticə

n dərəcəli (n ≥ 1) çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda təkrarlanan köklər də daxil olmaqla n sayda kökü var.

Kəşf et fiqurundakı dörd sıra bu prosesin n = 4 halıdır. Teorem hər sırada boş xananın «doldurula» biləcəyinə zəmanət verir — kökü necə tapacağımızı isə demir: onun üçün yenə rasional köklər teoremi, sintetik bölmə və kvadrat tənlik lazımdır.

Təkrarlanan kök

(x − 1)2

1 kökü iki dəfə sayılır: x1 = x2 = 1. Kök sayı vuruqların sayıdır, müxtəlif ədədlərin sayı yox.

Baş əmsal

an ≠ 0

an ədədi vuruq kimi qalır, amma kök vermir: 3(x − 2) çoxhədlisinin yeganə kökü 2-dir.

3 · Qoşma köklər

Kompleks köklər cüt gəlir

Açılış nümunəsində 2 + i və 2 − i birlikdə çıxdı. Bu təsadüf deyil: çoxhədlinin əmsalları həqiqidirsə, kompleks kökləri qoşma cütlərdir.

Yadda saxla

a + bi kompleks ədədi həqiqi əmsallı çoxhədlinin köküdürsə, onda qoşma kompleks a − bi ədədi də bu çoxhədlinin köküdür.

Cütün iki vuruğunu vuranda i yox olur — həqiqi əmsallı kvadrat üçhədli alınır:

(x − (a + bi))(x − (a − bi)) = (x − a)2 − (bi)2 = (x − a)2 + b2

Məsələn, (x − 2 − i)(x − 2 + i) = (x − 2)2 − i2 = x2 − 4x + 5 — açılış nümunəsindəki üçhədli məhz budur.

Həqiqi əmsallı çoxhədli

İxtiyari həqiqi əmsallı çoxhədli baş əmsalla həqiqi köklərə uyğun (x − r) kimi xətti vuruqların və qoşma kompleks köklərə uyğun (x2 + px + q) kimi kvadrat üçhədlilərin hasili şəklində göstərilə bilər.

Buradan dərsliyin növbəti nəticəsi çıxır. Kompleks köklər yalnız cüt-cüt gəlir, deməli onlar cəmi cüt sayda yer tutur. Dərəcə tək olanda bütün yerləri cütlərlə doldurmaq mümkün deyil — ən azı bir yer həqiqi kökə qalır:

Tək dərəcə

Əmsalları həqiqi ədədlər olan təkdərəcəli çoxhədlinin heç olmasa bir həqiqi kökü həmişə var.

5-ci dərəcəli həqiqi əmsallı çoxhədlinin kökləri necə bölünə bilər

5-ci dərəcə: kökləri 5 həqiqi, 3 həqiqi + 1 qoşma cüt və ya 1 həqiqi + 2 qoşma cüt ola bilər. Həqiqi kökü olmayan hal mümkün deyil: iki cüt 4 yer tutur, beşinci yer üçün cüt yoxdur.

4 · Qrafikdə

Qrafik hansı kökləri göstərir?

Qrafikdə yalnız həqiqi kökləri görürük — x oxu ilə ortaq nöqtələri. Üç kub çoxhədliyə baxaq. Hər birinin dərəcəsi 3-dür, deməli, hər birinin 3 kökü var, amma qrafiklər çox fərqlidir.

A(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3)

A(x) qrafiki x oxunu üç nöqtədə kəsir

3 kəsişmə — üç müxtəlif həqiqi kök: −2, 1, 3.

B(x) = (x + 1)(x − 2)2

B(x) qrafiki −1-də kəsir, 2-də toxunur

−1-də kəsir, 2-də toxunur: 2 iki dəfə təkrarlanan kökdür. Köklər −1; 2; 2.

C(x) = (x − 1)(x2 + 2x + 5)

C(x) qrafiki x oxunu yalnız bir nöqtədə kəsir

Yalnız 1 kəsişmə. x2 + 2x + 5 = 0-ın kökləri −1 ± 2i kompleksdir — qrafikdə görünmür, amma köklərdir.

Üç qrafikin hamısı x oxunu ən azı bir dəfə kəsir — tək dərəcəli həqiqi əmsallı çoxhədlinin həqiqi kökü həmişə var. Qrafikə baxıb «kök azdır» demək olmaz: görünməyən köklər qoşma kompleks cütlərdir.

5 · Hesabla

Teoremi işə salaq

Nümunə 1Köklər və dərəcə

P(x) = 2(x + 3)2(x − 5)(x2 + 4) çoxhədlisinin köklərini yazın və dərəcəsini tapın.

1. (x + 3)2 vuruğu −3 kökünü iki dəfə verir; (x − 5) vuruğu 5 kökünü verir.
2. x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = −4 = 4i2 ⇒ x = ±2i — qoşma cüt.
3. Baş əmsal 2 kök vermir. Dərəcə: 2 + 1 + 2 = 5; köklərin sayı da 5-dir, nəticəyə uyğun. −3; −3; 5; 2i; −2i · dərəcə 5

Nümunə 2Tənliyi tam həll et

x4 − 5x2 − 10x − 6 = 0 tənliyini həll edin.

1. Dörd kök gözləyirik. Rasional kök namizədləri: ±1, ±2, ±3, ±6. Yoxlayırıq: P(1) = −20, P(−1) = 1 − 5 + 10 − 6 = 0, deməli −1 kökdür. −1 1 0 −5 −10 −6 −1 1 4 6 1 −1 −4 −6 0
2. x3 − x2 − 4x − 6 üçün x = 3: 27 − 9 − 12 − 6 = 0, 3 kökdür. 3 1 −1 −4 −6 3 6 6 1 2 2 0
3. x2 + 2x + 2 = 0: D = 4 − 8 = −4, x = (−2 ± 2i) : 2 = −1 ± i. −1; 3; −1 + i; −1 − i

Nümunə 3Bir kompleks kökdən qalanlara

x3 − 4x2 + x + 26 = 0 tənliyinin bir kökü 3 + 2i-dir. Qalan kökləri tapın.

1. Əmsallar həqiqidir, ona görə qoşma 3 − 2i də kökdür.
2. Cütün vuruqlarını vururuq: (x − 3)2 − (2i)2 = x2 − 6x + 9 + 4 = x2 − 6x + 13.
3. Bölürük: x3 − 4x2 + x + 26 − x(x2 − 6x + 13) = 2x2 − 12x + 26 = 2(x2 − 6x + 13). Qismət x + 2-dir: x3 − 4x2 + x + 26 = (x2 − 6x + 13)(x + 2).
4. Üçüncü kök −2-dir — tək dərəcədə gözlədiyimiz həqiqi kök. 3 + 2i; 3 − 2i; −2

Nümunə 4Köklərə görə çoxhədli qur

Baş əmsalı 3, kökləri −4 və 1 + 2i olan ən kiçik dərəcəli həqiqi əmsallı çoxhədlini yazın.

1. Əmsallar həqiqi olmalıdır, ona görə 1 − 2i də kök olmalıdır. Ən az 3 kök lazımdır: −4, 1 + 2i, 1 − 2i.
2. Qoşma cüt: (x − 1)2 − (2i)2 = x2 − 2x + 5.
3. P(x) = 3(x + 4)(x2 − 2x + 5). Mötərizələri açsaq: 3x3 + 6x2 − 9x + 60. P(x) = 3(x + 4)(x2 − 2x + 5), dərəcə 3

6 · Diqqət

Üç tipik səhv

Təkrarı saymamaq

(x − 2)3(x + 1): 2 kök

2 və −1 müxtəlif ədədlərdir, amma kök sayı vuruqlarla sayılır.

Düzgün

2; 2; 2; −1 — 4 kök

Dərəcə 4-dür, 2 kökü üç dəfə təkrarlanır.

Qoşmanı unutmaq

(x − 4)(x − 1 − 2i)

Kökləri 4 və 1 + 2i-dir, amma əmsalları həqiqi deyil — «həqiqi əmsallı» şərti pozulur.

Düzgün

(x − 4)(x2 − 2x + 5)

1 − 2i də əlavə olunur: ən kiçik dərəcə 2 yox, 3-dür.

Qaydanı hər yerdə işlətmək

x − i: kökləri ±i

Qoşma qaydası yalnız həqiqi əmsallı çoxhədlilər üçündür.

Düzgün

x − i: yeganə kök i

Dərəcə 1-dir — bir kök. −i yerinə qoysaq, −2i alınır, 0 yox.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan (x + 1)3(x2 + 16) çoxhədlisinin bütün kökləri hansılardır? Cavab variantları −1; 4i; −4i −1; −1; −1; 4i; −4i −1; −1; −1; 4; −4 −1; −1; −1 Düzdür! Dərəcə 5 — beş kök. Yox. Dərəcə 3 + 2 = 5-dir, deməli beş kök olmalıdır; x2 = −16 isə ±4i verir. Həllə bax (x + 1)3 −1 kökünü üç dəfə verir. x2 + 16 = 0 ⇒ x2 = 16i2 ⇒ x = ±4i. Cəmi 5 kök, dərəcə də 5-dir.
2. Asan Həqiqi əmsallı çoxhədlinin kökü 5 − 2i-dir. Hansı ədəd də mütləq onun köküdür? Cavab variantları −5 + 2i 5 + 2i −5 − 2i 2 + 5i Əla! Qoşma yalnız xəyali hissənin işarəsini dəyişir. Yox. Qoşmada həqiqi hissə (5) eyni qalır, yalnız xəyali hissənin işarəsi dəyişir. Həllə bax a + bi kökdürsə, a − bi də kökdür. 5 − 2i-nin qoşması 5 + 2i-dir. −5 + 2i isə əks ədəddir.
3. Orta Kökləri arasında 2, i və 1 + i olan həqiqi əmsallı çoxhədlinin ən kiçik dərəcəsi neçədir? Cavab variantları 3 4 5 6 Düzdür! Hər kompleks kökün qoşması da lazımdır. Yox. i və 1 + i-nin qoşmaları (−i, 1 − i) da kök olmalıdır; 2 həqiqidir, onun cütü yoxdur. Həllə bax Köklər: 2, i, −i, 1 + i, 1 − i — cəmi 5. Məsələn, (x − 2)(x2 + 1)(x2 − 2x + 2), dərəcə 5.
4. Orta x3 − 2x2 + 4x − 8 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları 2; 2; −2 yalnız 2 2; 2i; −2i −2; 2i; −2i Əla! Qruplaşdırma: x2(x − 2) + 4(x − 2). Yox. Vuruqlara ayır: (x − 2)(x2 + 4). x2 + 4 = 0 kompleks kökləri verir, ±2 yox. Həllə bax x3 − 2x2 + 4x − 8 = x2(x − 2) + 4(x − 2) = (x − 2)(x2 + 4). Köklər: 2 və x2 = −4 ⇒ x = ±2i. Dərəcə 3 — üç kök.
5. Çətin P(x) baş əmsalı 1 olan, kökləri −2 və 1 + 3i olan 3-cü dərəcəli həqiqi əmsallı çoxhədlidir. P(0) neçədir? Cavab variantları 20 −20 −16 −2 − 6i Düzdür! P(x) = (x + 2)(x2 − 2x + 10). Yox. Kök −2 vuruğu (x + 2) verir; qoşma cüt (x − 1)2 − (3i)2 = x2 − 2x + 10 verir (i2 = −1). Həllə bax 1 − 3i də kökdür. (x − 1)2 − (3i)2 = x2 − 2x + 1 + 9 = x2 − 2x + 10. P(x) = (x + 2)(x2 − 2x + 10), P(0) = 2 · 10 = 20.
6. Çətin Həqiqi əmsallı 5-ci dərəcəli çoxhədli üçün hansı mümkün deyil? Cavab variantları 1 həqiqi və 4 kompleks kökü var Kökləri 2; 2; −1; i; −i-dir Heç bir həqiqi kökü yoxdur 5 həqiqi kökü var Düzdür! Tək dərəcədə ən azı bir həqiqi kök həmişə var. Bu mümkündür. Kompleks köklər cüt-cüt gəlir — hansı halda 5 yerin hamısını cütlərlə doldurmaq olmur? Həllə bax Kompleks köklər qoşma cütlərdir və cüt sayda yer tutur: 0, 2 və ya 4. 5 tək olduğu üçün ən azı bir yer həqiqi kökə qalır. Digər variantlar mümkündür, məsələn (x − 2)2(x + 1)(x2 + 1).

8 · Yekun

Yadda qalanlar

• n dərəcə ⇒ n kökKompleks ədədlər çoxluğunda, təkrarlanan köklər də daxil olmaqla: P(x) = an(x − r1)…(x − rn).
• a + bi ⇒ a − biHəqiqi əmsallı çoxhədlinin kompleks kökləri qoşma cütlərdir; cüt birlikdə həqiqi kvadrat üçhədli verir.
• tək n ⇒ həqiqi kökCütlər cüt sayda yer tutur, ona görə tək dərəcədə ən azı bir həqiqi kök qalır. Qrafik yalnız həqiqi kökləri göstərir.

Növbəti mövzu: 6.7 Çoxhədli funksiya

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif», «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21–23 (teorem, nəticə, qoşma köklər, həqiqi ayrılış və tək dərəcə haqqında cümlələr dərslikdən sitat gətirilib; açılış nümunəsi dərslikdəndir). Digər nümunələrdəki, qrafiklərdəki və suallardakı ədədlər bu dərs üçün seçilib.