Çoxhədli funksiya: qrafikin iki qolu hara gedir?

Mətn (transkript)

Gəlin bir oyun oynayaq. Sizə bir qrafik təsvir edəcəyəm, amma onu görməyəcəksiniz, yalnız düsturunu eşidəcəksiniz. Dəftərinizə yazın: mənfi iki iks kub, mənfi beş iks, üstəgəl üç. Bu, dərsliyimizdəki birinci nümunədir. Bu qrafikin iki qolu var: biri sola, o biri sağa uzanır. Sual belədir: hər qol hara gedir, yuxarı, yoxsa aşağı? Bunu heç bir nöqtə qurmadan demək olarmı? Bu gün çoxhədli funksiyadan danışacağıq. Əvvəlcə onun nə olduğunu və qrafikinin hansı xasiyyətləri olduğunu xatırlayacağıq. Sonra qrafikin iki qolunun taleyini kimin həll etdiyini öyrənəcəyik. Sonra qrafikin iks oxu ilə görüşünə baxacağıq: harada oxu kəsir, harada isə ona toxunub geri dönür. Ən sonda isə dərslikdəki dörd addımla bütöv bir qrafiki sözlə çəkəcəyik. Əvvəlcə tərifi xatırlayaq. Çoxhədli funksiya iksin qüvvətlərindən qurulmuş hədlərin cəmidir. Onu standart şəkildə yazanda ən böyük qüvvətdən başlayırıq, qüvvətlər isə bir-bir azalır, ta sərbəst həddə qədər. Ən böyük qüvvət çoxhədlinin dərəcəsidir. Bu qüvvətin durduğu həddə baş hədd, onun əmsalına isə baş əmsal deyilir. Bu iki adı yadda saxlayın: bu gün əsas qəhrəmanlar onlardır. Tanış hallar da buradadır. Dərəcə bir olanda xətti funksiya alınır və qrafiki düz xətdir. Dərəcə iki olanda kvadratik funksiya alınır və qrafiki paraboladır. Çoxhədli funksiyanın iki rahat xasiyyəti var. Birincisi, onun təyin oblastı bütün həqiqi ədədlərdir. İksin yerinə istənilən ədədi yaza bilərsiniz, çünki iks nə kəsrin məxrəcindədir, nə də kök altında. İkincisi, onun qrafiki kəsilməz xətdir. Yəni bu qrafiki qələmi kağızdan bir dəfə də qaldırmadan çəkmək olar. Bu ikinci xasiyyət bizə tezliklə lazım olacaq: kəsilməz xətt iks oxunun altından üstünə keçmək istəyirsə, oxu harasa mütləq kəsməlidir. İndi qollara keçək. Dərslik belə deyir: arqumentin modulca böyük qiymətlərində çoxhədli özünü baş həddi kimi aparır. Bunun nə demək olduğunu oyunumuzdakı çoxhədlidə görək. İksin yerinə yüz yazaq. Baş hədd, yəni mənfi iki iks kub, mənfi iki milyon olur. Qalan iki hədd isə birlikdə mənfi beş yüzə yaxın bir ədəd verir. İki milyonun yanında bu, okeanda bir damladır. İksin yerinə mənfi yüz yazsaq, baş hədd üstəgəl iki milyon olur, qalan hədlər yenə də cüzi qalır. İks uzaqlaşdıqca bu fərq daha da böyüyür. Deməli, uzaqda, qolların ucunda bütün qərarı baş hədd verir. Baş həddə baxanda iki sual veririk. Birinci sual: dərəcə təkdir, yoxsa cüt? Dərəcə cütdürsə, iki qol eyni tərəfə gedir: ya hər ikisi yuxarı qalxır, ya hər ikisi aşağı enir, parabolanın qolları kimi. Dərəcə təkdirsə, qollar əks tərəflərə gedir: biri yuxarı, o biri aşağı, düz xətt kimi. İkinci sual: baş əmsal müsbətdir, yoxsa mənfi? Bu, sağ qolun taleyini həll edir. Baş əmsal müsbətdirsə, sağ qol yuxarı qalxır. Baş əmsal mənfidirsə, sağ qol aşağı enir. Sol qol isə dərəcəyə baxır: cüt dərəcədə sağ qolun ardınca gedir, tək dərəcədə isə ona əks tərəfə. Beləliklə, dərslikdəki cədvəlin dörd xanası belə səslənir. Tək dərəcə və müsbət baş əmsal: sol qol aşağı, sağ qol yuxarı. Tək dərəcə və mənfi baş əmsal: sol qol yuxarı, sağ qol aşağı. Bu iki halda funksiyanın qiymətlər çoxluğu bütün həqiqi ədədlərdir. Cüt dərəcə və müsbət baş əmsal: hər iki qol yuxarı. Onda qrafikin ən aşağı nöqtəsi var və funksiyanın ən kiçik qiyməti olur. Cüt dərəcə və mənfi baş əmsal: hər iki qol aşağı. Onda funksiyanın ən böyük qiyməti olur. İndi oyunumuza qayıdaq: mənfi iki iks kub, mənfi beş iks, üstəgəl üç. Baş hədd mənfi iki iks kubdur. Dərəcə üçdür, yəni təkdir, deməli, qollar əks tərəflərə gedir. Baş əmsal mənfi ikidir, yəni mənfidir, deməli, sağ qol aşağı enir. Onda sol qol yuxarı qalxır. Bir nöqtə belə qurmadan cavab hazırdır: qrafik solda yuxarıdan gəlir, sağda isə aşağı enir. Dərslikdəki ikinci çoxhədli iksin dördüncü dərəcəsi ilə başlayır və onun baş əmsalı birdir. Dərəcə cütdür, baş əmsal müsbətdir, ona görə onun hər iki qolu yuxarı qalxır. Bu qaydanı tərsinə də işlətmək olar. Tutaq ki, kimsə sizə bir qrafiki təsvir edir: sol qol yuxarıdadır, sağ qol isə aşağıda. Qollar əks tərəflərə getdiyi üçün çoxhədli tək dərəcəlidir. Sağ qol aşağı endiyi üçün baş əmsal mənfidir. Dərslikdəki ikinci nümunə məhz belə oxunur. Hər iki qolu yuxarı qalxan, ortada isə iki çökəkliyi olan qrafik isə cüt dərəcəli və baş əmsalı müsbət olan çoxhədliyə məxsusdur. Qolların istiqaməti başqa bir sirri də açır. Tək dərəcəli çoxhədlidə qollardan biri aşağıda, o biri yuxarıdadır. Qrafik isə kəsilməzdir. Deməli, aşağıdan yuxarıya keçəndə o, iks oxunu ən azı bir dəfə kəsməlidir. Dərslik bunu belə deyir: dərəcə təkdirsə, çoxhədlinin ən azı bir həqiqi sıfırı var. Cüt dərəcədə isə belə zəmanət yoxdur. Hər iki qol yuxarı gedirsə, qrafik bütövlüklə oxun üstündə qala bilər. Məsələn, iks kvadrat üstəgəl bir heç vaxt sıfır olmur. Ona görə cüt dərəcəli çoxhədlinin həqiqi sıfırı olmaya bilər. İndi qrafikin iks oxu ilə görüşünə baxaq. Çoxhədlinin sıfırları qrafikin oxla görüşdüyü nöqtələrdir. Amma bu görüş iki cür olur. Dərslikdəki bir çoxhədliyə baxaq. O, iki vuruğun hasilidir: birinci vuruq iks minus bir fərqinin kvadratıdır, ikinci vuruq isə iks üstəgəl ikidir. Onun sıfırları mənfi iki və birdir. Mənfi ikidə qrafik oxu kəsib o biri tərəfə keçir. Birdə isə oxa yalnız toxunur və geri dönür. Bunun səbəbi işarədədir. İks üstəgəl iki vuruğu mənfi ikidən keçəndə işarəsini dəyişir: solda mənfidir, sağda isə müsbət. Ona görə funksiyanın işarəsi də dəyişir və qrafik oxun o biri tərəfinə keçir. İks minus bir fərqinin kvadratı isə heç vaxt mənfi olmur. Birdə o, sıfıra qədər azalır, amma işarəsini dəyişmir. Ona görə qrafik oxa yalnız toxunur və gəldiyi tərəfə qayıdır. Dərsliyin qaydası belədir: qrafik cüt sayda təkrarlanan sıfırlarda iks oxuna toxunub dönür. Gəlin bu qrafiki bütövlüklə sözlə çəkək. Vuruqları açsaq, baş hədd iks kub olar: dərəcə tək, baş əmsal müsbət. Deməli, sol qol aşağıdan gəlir, sağ qol yuxarı qalxır. Qrafik soldan, aşağıdan gəlir və mənfi ikidə oxu kəsib yuxarı çıxır. Oxun üstündə kiçik bir təpə çəkir. İks sıfır olanda funksiyanın qiyməti ikidir, yəni qrafik ordinat oxunu iki hündürlüyündə kəsir. Sonra o, aşağı enir, birdə oxa toxunur və yenidən yuxarı qalxır, bu dəfə həmişəlik. Bu qaydadan maraqlı bir nəticə çıxır. Toxunma nöqtəsindəki sıfır cüt sayda təkrarlanır, deməli, dərəcəyə ən azı iki vahid verir. Dərsliyin tapşırıqlarından birində qrafik iks oxuna iki nöqtədə toxunur, hər iki qolu isə aşağı gedir. Hər toxunma ən azı iki vahid verdiyi üçün belə çoxhədlinin dərəcəsi ən azı dörddür. İndi bütün bildiklərimizi bir yerə yığaq. Dərslik çoxhədlinin sxematik qrafikini dörd addımla qurmağı təklif edir. Birinci addım: qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri tapılır. İkinci addım: həqiqi sıfırlar arasında bir neçə nöqtədə funksiyanın qiyməti hesablanır. Üçüncü addım: arqumentin modulca böyük qiymətlərində qrafikin özünü necə apardığı müəyyən edilir, yəni qolların istiqaməti. Dördüncü addım: bütün bu məlumatlara əsasən qrafik çəkilir. Dərslikdəki üçüncü nümunədə baş əmsalı bir olan üçüncü dərəcəli çoxhədli götürülür. Onun sərbəst həddi mənfi səkkizdir. Əvvəlki dərslərdən tanış olan rasional kök namizədləri və Hörner sxemi bu çoxhədlini üç xətti vuruğa ayırır. Sıfırlar belədir: mənfi dörd, mənfi bir və iki. Bu, birinci addımdır: qrafik iks oxunu bu üç nöqtədə kəsir, ordinat oxunu isə mənfi səkkizdə. İkinci addımda sıfırların arasından iki yoxlama nöqtəsi götürülür. İks mənfi üç olanda funksiyanın qiyməti müsbət ondur. İks bir olanda isə qiymət mənfi ondur. Üçüncü addım artıq bizə tanışdır: dərəcə tək, baş əmsal müsbət, deməli, sol qol aşağıdan gəlir, sağ qol yuxarı gedir. Dördüncü addımda nöqtələri birləşdiririk. Qrafik soldan, aşağıdan gəlir və mənfi dörddə oxu kəsib yuxarı çıxır. Mənfi dörd ilə mənfi bir arasında oxun üstündə bir təpə çəkir və mənfi üçdə on hündürlüyündən keçir. Mənfi birdə yenidən oxu kəsib aşağı enir, sıfırda mənfi səkkizdən keçir. Mənfi bir ilə iki arasında oxun altında bir çuxur çəkir və birdə mənfi on dərinliyindən keçir. İkidə oxu sonuncu dəfə kəsir və sağ qol yuxarı, sonsuzluğa doğru gedir. Oyunun əvvəlindəki suala qayıdaq. Qrafiki görmədən onun qollarının hara getdiyini demək olarmı? Bəli, olar, çünki uzaqda qərarı yalnız baş hədd verir. Dərəcənin tək və ya cüt olması qolların eyni, yoxsa əks tərəflərə getdiyini deyir. Baş əmsalın işarəsi isə sağ qolun yuxarı, yoxsa aşağı getdiyini deyir. Ortadakı hissəni sıfırlar çəkir: vuruq bir dəfə görünəndə qrafik oxu kəsir, cüt sayda təkrarlananda isə ona toxunub dönür. Bir neçə nöqtə isə şəkli tamamlayır. Bu qrafikləri kağızda addım-addım çəkməyi yazılı dərsdə və videoda görəcəksiniz. Növbəti dəfə bir çoxhədli eşidəndə əvvəlcə onun baş həddinə qulaq asın: o, sizə qrafikin iki qolunun hara getdiyini artıq deyib.