Mətn
f(x) funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Cüt dərəcə: ən kiçik və ya ən böyük qiymət
Qayda
Arqumentin modulca böyük qiymətlərində çoxhədli özünü baş hədd aₙxⁿ kimi aparır. Uclar yalnız iki şeydən asılıdır: dərəcə n-in tək və ya cüt olmasından və aₙ-in işarəsindən.
Qrafikin ucları
| n tək | n cüt | |
|---|---|---|
| aₙ > 0 | sol aşağı, sağ yuxarı | ikisi də yuxarı |
| aₙ < 0 | sol yuxarı, sağ aşağı | ikisi də aşağı |
n cüt, aₙ > 0 olduqda qiymətlər çoxluğu [m; +∞)-dur, m — ən kiçik qiymət; n cüt, aₙ < 0 olduqda (−∞; M], M — ən böyük qiymət. Tək dərəcədə qiymətlər çoxluğu R-dir.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələCüt dərəcəli çoxhədlinin qiymətlər çoxluğu
f(x) = (x² − 1)(x² − 9) funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tapın.
- Forma. Mötərizələri açaq: f(x) = x⁴ − 10x² + 9. Dərəcə 4 (cüt), aₙ = 1 > 0 — hər iki uc yuxarı, qiymətlər çoxluğu [m; +∞).
- Tam kvadrat. x⁴ − 10x² = (x² − 5)² − 25, ona görə f(x) = (x² − 5)² − 25 + 9 = (x² − 5)² − 16.
- Ən kiçik qiymət. (x² − 5)² ≥ 0, deməli f(x) ≥ −16; bərabərlik x² = 5, yəni x = ±√5 olduqda. m = −16.
- Cavab. Qiymətlər çoxluğu [−16; +∞).
Cavab: [−16; +∞)
f(x) = x⁴ − 10x² + 9 funksiyasının qrafiki
Ən aşağı nöqtələr (±√5; −16): qrafik y = −16 xəttindən aşağı düşmür, yuxarıda isə məhdud deyil.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
f(√5) = (5 − 1)(5 − 9) = 4·(−4) = −16 ✓. Qonşu nöqtə: f(2) = 3·(−5) = −15 > −16 ✓. Böyük x üçün f böyüyür: f(10) = 99·91 = 9009.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
(x² − 5)² − 25 ⇒ m = −25
Sərbəst hədd +9 unudulub.
Düzgün
(x² − 5)² − 16 ⇒ m = −16
−25 + 9 = −16.
Digər cavablar niyə səhvdir
- R — Qiymətlər çoxluğu R tək dərəcəli çoxhədlilər üçündür. Burada dərəcə 4 (cüt), aₙ = 1 > 0 — hər iki uc yuxarı, funksiyanın ən kiçik qiyməti var.
- [9; +∞) — 9 = f(0), yəni y oxu ilə kəsişmədir, ən kiçik qiymət deyil: məsələn, f(2) = 3·(−5) = −15 < 9.
- (−∞; 16] — (−∞; M] forması cüt dərəcə və aₙ < 0 üçündür. Burada aₙ = 1 > 0, qiymətlər yuxarıdan məhdud deyil (f(10) = 99·91 = 9009).
- [−25; +∞) — x⁴ − 10x² = (x² − 5)² − 25 düzgündür, amma sərbəst hədd 9 unudulub: x⁴ − 10x² + 9 = (x² − 5)² − 16.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Çoxhədli funksiya», səh. 25–28.