Mətn
Şəkildə f(x) çoxhədlisinin və g(x) düz xəttinin qrafikləri verilib. f(x)-in qrafiki x = −2 nöqtəsində x oxunu kəsir, x = 2 nöqtəsində x oxuna toxunur; g(x) düz xətti x oxunu x = 4 nöqtəsində kəsir. [−4; 6] parçasında f(x)·g(x) < 0 bərabərsizliyini ödəyən tam ədədlərin cəmini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Hasilin işarəsi: hər vuruğun işarəsi ayrıca
Qayda
(x − r)ᵏ vuruğu r sıfırını k dəfə verir. Qrafik cüt sayda təkrarlanan sıfırda x oxuna toxunub dönür (funksiyanın işarəsi dəyişmir), təkrarlanmayan sıfırda isə x oxunu kəsir (işarə dəyişir).
Hasil mənfidir ⇔ vuruqların işarələri müxtəlifdir. Sıfır nöqtələrində hasil 0 olur və ciddi bərabərsizliyə daxil deyil.
2 · Həll
Addım-addım həll
Məsələİki qrafikə görə hasilin işarəsi
[−4; 6] parçasında f(x)·g(x) < 0 bərabərsizliyinin tam həllərinin cəmini tapın.
- f-in işarəsi. −2‑də qrafik oxu kəsir: x < −2 olduqda f < 0, x > −2 olduqda f > 0. 2‑də toxunur — işarə dəyişmir, x > 2 olduqda da f > 0.
- g-nin işarəsi. Düz xətt artandır, sıfırı 4: x < 4 olduqda g < 0, x > 4 olduqda g > 0.
- Hasil. x < −2: (−)·(−) = + ; −2 < x < 4, x ≠ 2: (+)·(−) = − ; x > 4: (+)·(+) = +. Deməli f·g < 0 ⇔ x ∈ (−2; 2) ∪ (2; 4).
- Tam ədədlər. −1, 0, 1, 3 (2 daxil deyil, çünki f(2) = 0). Cəm: −1 + 0 + 1 + 3 = 3.
Cavab: 3
İşarə cədvəli
| Interval | f(x) | g(x) | f(x)·g(x) |
|---|---|---|---|
| x < −2 | − | − | + |
| −2 < x < 2 | + | − | − |
| 2 < x < 4 | + | − | − |
| x > 4 | + | + | + |
f(x) çoxhədlisinin və g(x) düz xəttinin qrafikləri
f(x) 2‑də x oxuna toxunur və orada işarəsini dəyişmir; g(x) 4‑də mənfidən müsbətə keçir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
x = 2: f(2) = 0 ⇒ hasil 0, həll deyil. x = 3: f(3) > 0, g(3) = −1 < 0 ⇒ hasil mənfi, həlldir. x = 5: f(5) > 0, g(5) = 1 > 0 ⇒ hasil müsbət. Cəm 3.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
2‑də f işarəsini dəyişir
Toxunma nöqtəsi kəsişmə kimi oxunub.
Düzgün
2‑də f müsbət qalır
Qrafik oxa toxunub geri qalxır.
Digər cavablar niyə səhvdir
- −7 — Yalnız f(x) < 0 həll edilib (x = −4, −3), g(x)-in işarəsi nəzərə alınmayıb. x < −2 olduqda g(x) də mənfidir, hasil müsbətdir.
- 5 — x = 2 də sayılıb (−1 + 0 + 1 + 2 + 3), amma f(2) = 0 ⇒ f(2)·g(2) = 0, 0 < 0 isə doğru deyil.
- 7 — Bu, f(x)·g(x) ≤ 0 bərabərsizliyinin tam həllərinin cəmidir (−2‑dən 4‑ə qədər). Ciddi bərabərsizlikdə sıfırlar −2, 2, 4 daxil deyil.
- 11 — f(x)-in işarəsi toxunma nöqtəsi x = 2‑də dəyişən kimi götürülüb. Əslində f(x) 2‑nin hər iki tərəfində müsbətdir; x > 4 olduqda f > 0, g > 0, hasil müsbətdir.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Çoxhədli funksiya», səh. 25–28.