Audio dərs · Müddət
11:02
Mətn (transkript)
Səhər tezdən, məktəb həyəti. Zəng çalınır və bir sinfin şagirdləri həyətin ortasında sıraya düzülürlər. Çiyin-çiyinə dayanırlar və sıra dümdüz alınır. Hamı eyni tərəfə, bayrağa doğru baxır. Bu mənzərəni bir anlığa dondurun. Sıranın özü düz bir xətdir. Bəs hamının baxdığı istiqamət? O, sıra boyunca yönəlməyib. O, sıraya perpendikulyardır. Bu vaxt həyətə gecikmiş bir şagird gəlir və sıradakı yoldaşlarından bir neçə addım aralıda dayanır. Müəllim soruşur: bu şagird sıradadırmı? Gəlin şərti çətinləşdirək. Bütün sıranı görmürük. Yalnız iki şeyi bilirik: sıradakı bir tanış şagirdin harada dayandığını və hamının hansı istiqamətə baxdığını. Bu, cavab vermək üçün kifayətdirmi? Bir şeyi əvvəlcədən deyim: bu həyət və bu sıra mənim öz misalımdır, dərslikdə yoxdur. Amma onun arxasında dərsliyin əsas fikri dayanır. Salam! Bugünkü mövzumuz on birinci sinif dərsliyindəndir: düz xəttin ümumi tənliyi. Söhbət müstəvidən, yəni iks və iqrek oxları olan koordinat müstəvisindən gedir. Əvvəlki dərsdə skalyar hasili öyrəndik və bir vacib nəticə aldıq: perpendikulyar vektorların skalyar hasili sıfırdır. Bu gün həmin nəticədən düz xəttin tənliyini quracağıq. Əvvəlcə normal vektorla tanış olacağıq. Sonra tənliyin necə yarandığını görəcəyik, xüsusi hallara və düz xətlər arasındakı bucağa baxacağıq. Ən sonda isə həyətə qayıdıb müəllimin sualına cavab verəcəyik. Birinci fəsil: normal vektor. Dərslik belə tərif verir: düz xəttə perpendikulyar olan vektor düz xəttin normal vektoru, ya da sadəcə normalı adlanır. Bizim həyətdə normal şagirdlərin baxdığı istiqamətdir. Diqqət edin: normal düz xətt boyunca uzanmır, ona dik dayanır. Bir düz xəttin normalı tək deyil. Onu uzatmaq, qısaltmaq, hətta əks tərəfə çevirmək olar, o yenə də düz xəttə perpendikulyar qalır. Yalnız sıfır vektor normal ola bilməz, çünki onun istiqaməti yoxdur. Normal niyə bu qədər faydalıdır? Çünki bir nöqtə və bir normal düz xətti tamamilə müəyyən edir. Həyətdə də belədir. Bir şagirdin harada dayandığını və hamının hara baxdığını bilsək, sıranın necə uzandığını dərhal təsəvvür edirik: sıra həmin şagirddən keçir və baxış istiqamətinə dik uzanır. Sıra başqa cür yerləşə bilməz. İkinci fəsil: tənlik necə yaranır. Düz xətt üzərində bir nöqtə verilsin, adını pe sıfır qoyaq. Normal vektorun komponentləri a və be olsun. İndi düz xətt üzərində istənilən başqa bir nöqtə götürək. Onun adı pe, koordinatları isə iks və iqrekdir. Pe sıfırdan pe nöqtəsinə çəkilmiş vektor düz xətt boyunca yönəlib. Deməli, o, normala perpendikulyardır. Perpendikulyar vektorların skalyar hasili isə sıfırdır. Bu skalyar hasili komponentlərlə yazaq. Pe sıfırdan pe nöqtəsinə gedən vektorun birinci komponenti iks ilə pe sıfırın absisi arasındakı fərqdir. İkinci komponenti isə iqrek ilə pe sıfırın ordinatı arasındakı fərqdir. Uyğun komponentləri vurub toplayırıq və nəticəni sıfıra bərabər edirik. Mötərizələri açanda bir tərəfdə a iks və be iqrek qalır. Qalan hər şey yalnız verilmiş nöqtənin koordinatlarından düzəlmiş sabit bir ədəddir. Dərslik bu sabit ədədi ce hərfi ilə işarə edir. Beləliklə, düz xəttin ümumi tənliyini alırıq: a iks üstəgəl be iqrek üstəgəl ce, bərabərdir sıfır. Bugünkü dərsin yeganə düsturu budur. Burada a və be normalın komponentləridir, ona görə onların ikisi birdən sıfır ola bilməz. Dərslik bunu belə yazır: a kvadrat üstəgəl be kvadrat sıfırdan böyükdür. Ən vacib fikir isə budur: tənliyə baxan kimi normalı görürük. İksin yanındakı ədəd normalın birinci komponenti, iqrekin yanındakı ədəd isə ikinci komponentidir. İndi dərslikdəki tapşırıqlardan birini birlikdə həll edək. Düz xətt koordinatları üç və mənfi dörd olan nöqtədən keçir. Onun normalının komponentləri iki və mənfi üçdür. Normalı bildiyimiz üçün tənliyin başlanğıcı hazırdır: iki iks, mənfi üç iqrek, üstəgəl ce, bərabərdir sıfır. Hələ yalnız ce məlum deyil. Onu tapmaq üçün verilmiş nöqtəni tənlikdə yerinə qoyuruq. İksin yerinə üç yazırıq: iki vurulsun üç, altı edir. İqrekin yerinə mənfi dörd yazırıq: mənfi üç vurulsun mənfi dörd, bu da müsbət on iki edir. Altı ilə on ikinin cəmi on səkkizdir. On səkkiz üstəgəl ce sıfır olmalıdır, deməli, ce mənfi on səkkizdir. Tənlik belə alınır: iki iks, mənfi üç iqrek, mənfi on səkkiz, bərabərdir sıfır. Dərsliyin cavabı da məhz budur. Üçüncü fəsil: xüsusi hallar. Ümumi tənlikdə bəzi əmsallar sıfır ola bilər və bu halda düz xəttin vəziyyəti dərhal bəlli olur. Birinci hal: a sıfırdır, be isə sıfır deyil. Bu halda tənlikdə iks qalmır və iqrek sabit bir ədədə bərabər olur. Belə düz xətt absis oxuna, yəni iks oxuna paraleldir. Onun normalı isə düz yuxarı, iqrek oxu boyunca baxır. Sıra üfüqi uzanır, şagirdlər isə yuxarıya doğru baxırlar. İkinci hal: be sıfırdır, a isə sıfır deyil. Bu dəfə tənlikdə iqrek qalmır, iks isə sabit bir ədədə bərabər olur. Belə düz xətt ordinat oxuna, yəni iqrek oxuna paraleldir. Onun normalı isə iks oxu boyunca, yəni üfüqi yönəlib. Üçüncü hal: ce sıfırdır. Bu halda tənlik belə qısalır: a iks üstəgəl be iqrek, bərabərdir sıfır. Koordinat başlanğıcı, yəni hər iki koordinatı sıfır olan nöqtə bu tənliyi ödəyir. Deməli, belə düz xətt koordinat başlanğıcından keçir. Dördüncü fəsil: düz xətlər arasındakı bucaq. Təsəvvür edin ki, həyətdə iki sinif iki ayrı sıraya düzülüb və bu sıraların davamı bir nöqtədə kəsişir. Sıralar arasındakı bucağı necə tapaq? Dərsliyin cavabı çox gözəldir: düz xətlər arasındakı bucağı onların normalları arasındakı bucaqla müəyyən etmək olar. Səbəbi sadədir. Sıranı nə qədər döndərsək, şagirdlərin baxış istiqaməti də o qədər dönür. Yadda saxlayın: kəsişən iki düz xətt iki bucaq əmələ gətirir, biri iti, o biri kor, cəmləri isə yüz səksən dərəcədir. Normallar arasındakı bucaq bu ikisindən biridir. Normallar arasındakı bucağı isə artıq tanıdığımız yolla tapırıq: bu bucağın kosinusu normalların skalyar hasilinin onların uzunluqlarının hasilinə nisbətinə bərabərdir. Xüsusilə, normalların skalyar hasili sıfırdırsa, düz xətlər perpendikulyardır. Dərslikdəki bir tapşırığa baxaq. Birinci düz xəttin normalının komponentləri iki və mənfi birdir, ikinci düz xəttinki isə bir və ikidir. İki vurulsun bir, iki edir. Mənfi bir vurulsun iki, mənfi iki edir. Cəmi sıfırdır. Deməli, bu düz xətlər doxsan dərəcə bucaq altında kəsişir. Dərsliyin cavabı da doxsan dərəcədir. İndi həyətə qayıdaq. Həyəti koordinat müstəvisi kimi təsəvvür edək və sıra bizim indicə tapdığımız düz xətt olsun: iki iks, mənfi üç iqrek, mənfi on səkkiz, bərabərdir sıfır. Tanış şagird koordinatları üç və mənfi dörd olan nöqtədə dayanır. Hamının baxdığı istiqamət normaldır, onun komponentləri iki və mənfi üçdür. Gecikmiş şagird isə koordinatları sıfır və mənfi altı olan nöqtədə dayanıb. Yoxlamanın iki yolu var və hər ikisi eyni fikrə söykənir. Birinci yol: tanış şagirddən gecikmiş şagirdə qədər addımı vektor kimi yazırıq. İks üzrə üçdən sıfıra gedirik, bu, mənfi üçdür. İqrek üzrə mənfi dörddən mənfi altıya gedirik, bu, mənfi ikidir. Bu addımın normalla skalyar hasilini tapaq. İki vurulsun mənfi üç, mənfi altı edir. Mənfi üç vurulsun mənfi iki, müsbət altı edir. Cəmi sıfırdır. Addım baxış istiqamətinə perpendikulyardır, deməli, şagird sıradadır. İkinci yol daha qısadır: nöqtəni tənlikdə yerinə qoyuruq. İki vurulsun sıfır, sıfır edir. Mənfi üç vurulsun mənfi altı, müsbət on səkkiz edir. On səkkizdən on səkkizi çıxırıq və sıfır alırıq. Tənlik ödənir. Cavab: bəli, o, sıradadır. Bəs şagird sıradan kənarda dayansaydı və sıraya ən qısa yolla çatmaq istəsəydi? Bu halda o, sıraya perpendikulyar, yəni normal boyunca getməli olardı. Dərslik nöqtədən düz xəttə qədər məsafəni də məhz bu fikirlə tapır. Bu hesablamanı oxu dərsində addım-addım görəcəksiniz. Bugünkü dərsin əsas fikri budur: düz xətti bir nöqtə və bir normal müəyyən edir. Düz xəttin istənilən nöqtəsinə aparan addım normala perpendikulyardır, onların skalyar hasili sıfırdır və bu sıfır elə düz xəttin tənliyidir. İksin və iqrekin yanındakı ədədlər normalı göstərir. Bu ədədlərdən biri sıfırdırsa, düz xətt oxlardan birinə paraleldir. Sabit ədəd sıfırdırsa, düz xətt koordinat başlanğıcından keçir. Düz xətlər arasındakı bucağı isə normallar arasındakı bucaq verir. Addım-addım həllər üçün oxu dərsinə və video dərsə baxın. Növbəti dəfə sıraya düzüləndə hara baxdığınızı xatırlayın: o istiqamət sıranın normalıdır.