Mətn
Xəritədə koordinat sistemi seçilib, vahid parça 1 km-dir. Düz yol l düz xətti boyunca uzanır, ferma F nöqtəsindədir. Fermadan yola ən qısa cığır çəkilməlidir.
Cığır yola hansı nöqtədə birləşməlidir?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Ən qısa yol perpendikulyardır
Qayda
Nöqtədən düz xəttə ən qısa yol perpendikulyar boyuncadır, perpendikulyar isə normal n boyunca yönəlir. Oturacaq P üçün FP = k · n; P xəttin tənliyini ödədiyindən k tapılır.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələFermadan yola ən qısa cığır
Yol 3x + 4y − 12 = 0, ferma F(7; 9) (vahid 1 km). Ən qısa cığır yola hansı nöqtədə birləşir?
- Normal: n(3; 4). FP = k·n, onda P(7 + 3k; 9 + 4k).
- P yol üzərindədir: 3(7 + 3k) + 4(9 + 4k) − 12 = 0, yəni 21 + 9k + 36 + 16k − 12 = 0, 25k + 45 = 0, k = −9/5.
- Koordinatlar: x = 7 − 27/5 = 8/5 = 1,6; y = 9 − 36/5 = 9/5 = 1,8.
Cavab: P(1,6; 1,8)
Fermadan yola ən qısa cığır
Yaşıl cığır yola perpendikulyardır (9 km); qırıq qırmızı şaquli və üfüqi yollar daha uzundur.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
3·1,6 + 4·1,8 − 12 = 4,8 + 7,2 − 12 = 0 ✓. FP = (−5,4; −7,2) = −1,8·(3; 4) — normala kollineardır ✓. Cığırın uzunluğu 1,8·5 = 9 km; şaquli (11,25 km) və üfüqi (15 km) yollardan qısadır.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
k = 9/5 → (12,4; 16,2)
k‑nın işarəsi itib: nöqtə yoldan uzaqlaşır.
Düzgün
k = −9/5 → (1,6; 1,8)
Ferma yolun üstündədir, cığır normalın əksinə enir.
Digər cavablar niyə səhvdir
- (12,4; 16,2) — k = +9/5 götürülüb. Bu nöqtə yolda deyil: 37,2 + 64,8 − 12 ≠ 0.
- (7; −2,25) — Fermadan şaquli aşağı enilib. Nöqtə yoldadır, amma FP = (0; −11,25) normala kollinear deyil; cığır 11,25 km olur, 9 km‑dən uzun.
- (1,8; 1,6) — Koordinatlar yerini dəyişib: 5,4 + 6,4 − 12 = −0,2 ≠ 0, nöqtə yolda deyil.
- (−8; 9) — Fermadan üfüqi sola gedilib: nöqtə yoldadır, amma cığır 15 km olur.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Düz xəttin ümumi tənliyi», səh. 54–55. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir. Xəritə, yol və ferma konteksti bu sual üçün uydurulub.