Mətn
Bu düz xətlər arasındakı iti bucaq 45°-dir. a-nın bütün qiymətlərini tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
İti bucaq üçün kosinusun modulu
Qayda
Normallar arasındakı θ bucağı ya düz xətlər arasındakı iti bucağa bərabərdir, ya da onu 180°-yə tamamlayır. Ona görə iti bucaq φ üçün:
cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələDüz xətlər arasındakı bucağa görə parametr
ax + y − 3 = 0 və x − 3y + 2 = 0 düz xətləri arasındakı iti bucaq 45°-dir. a‑nı tapın.
- Normallar: n₁(a; 1), n₂(1; −3). n₁ · n₂ = a − 3, |n₁| = √(a² + 1), |n₂| = √10.
- Şərt: |a − 3| / (√(a² + 1) · √10) = √2/2.
- Kvadrata yüksəldirik: (a − 3)² / (10(a² + 1)) = 1/2, yəni 2(a − 3)² = 10(a² + 1), 2a² − 12a + 18 = 10a² + 10, 8a² + 12a − 8 = 0, 2a² + 3a − 2 = 0.
- Köklər: D = 9 + 16 = 25, a = (−3 ± 5)/4: a = 1/2 və ya a = −2.
- Yoxlayırıq: hər iki tərəf mənfi olmadığı üçün kvadrata yüksəltmə yeni kök vermir; hər iki qiymət uyğundur.
Cavab: a = 1/2 və ya a = −2
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
a = 1/2: normal (1/2; 1) ∥ (1; 2); (1; 2)·(1; −3) = −5, |(1; 2)|·|(1; −3)| = √5·√10 = 5√2, cos θ = −√2/2: normallar arasında 135°, xətlər arasında 45° ✓. a = −2: (−2; 1)·(1; −3) = −5, √5·√10 = 5√2 — yenə 135° və 45° ✓.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
cos θ = +√2/2
Normallar arasındakı bucağın 45° olması tələb olunub; burada hər iki halda normallar 135° əmələ gətirir.
Düzgün
|cos θ| = √2/2
Düz xətlər arasındakı iti bucaq kosinusun modulu ilə tapılır.
Digər cavablar niyə səhvdir
- 1/2 — Yalnız müsbət kök saxlanılıb. a = −2 də şərti ödəyir: |−2 − 3| / (√5·√10) = √2/2.
- 2 və −1/2 — Kvadrat tənliyin həllində işarə səhvi: 2a² − 3a − 2 = 0 həll edilib. a = 2‑də cos² φ = 1/50 alınır.
- 3 — Perpendikulyarlıq şərti yazılıb (a − 3 = 0): a = 3‑də xətlər arasındakı bucaq 90°-dir.
- Belə qiymət yoxdur — Modul götürülməyib: cos θ = +√2/2, yəni normallar arasında 45° tələb edilib. Bu, a − 3 > 0 istəyir, tapılan qiymətlərdə isə skalyar hasil mənfidir (normallar arasında 135°). Amma soruşulan düz xətlər arasındakı iti bucaqdır və o, 45°-dir.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Düz xəttin ümumi tənliyi», səh. 54–55. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.