Düz xəttin ümumi tənliyi

• 6.12
• 11-ci sinif
• Müstəvidə düz xətt

Düz xəttin ümumi tənliyi

Bir nöqtə və bir istiqamət düz xətti müəyyən edirmi? A(1; 2) nöqtəsindən keçən və n(2; 1) vektoruna perpendikulyar olan düz xətt yeganədir, onun tənliyi isə bir sətirdir: 2x + y − 4 = 0.

Bu dərsdə

• normal vektoru tanıyacaq və ax + by + c = 0 tənliyini n · P₀P = 0 şərtindən çıxaracaqsan;
• nöqtəsi və normalı verilmiş düz xəttin tənliyini iki üsulla yazacaq, xüsusi halları tanıyacaqsan;
• düz xətlər arasındakı bucağı normallarla, nöqtədən düz xəttə məsafəni P₀P = k · n üsulu ilə tapacaqsan.

A(1; 2) nöqtəsindən keçən və n(2; 1) normalına perpendikulyar düz xətt

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Xüsusi hallar
4. Hesabla
5. Bucaq
6. Məsafə
7. Diqqət
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Nöqtə düz xətt üzərindədirmi?

Düz xətti müəyyən etmək üçün iki şey kifayətdir: üzərindəki bir nöqtə və ona perpendikulyar bir vektor. Belə vektora düz xəttin normalı deyilir. A(1; 2) nöqtəsini və n(2; 1) normalını götürək. Hansı P nöqtələri bu düz xəttə aiddir?

P nöqtəsini seç

P(0; 4) P(3; −2) P(3; 1) P(0; 1)

A nöqtəsindən seçilmiş P nöqtəsinə AP vektoru

P(0; 4): AP(−1; 2), n · AP = 2 · (−1) + 1 · 2 = 0. AP normala perpendikulyardır — P düz xətt üzərindədir.

P(3; −2): AP(2; −4), n · AP = 4 − 4 = 0. Yenə perpendikulyardır — P düz xətt üzərindədir.

P(3; 1): AP(2; −1), n · AP = 4 − 1 = 3 ≠ 0. AP normala perpendikulyar deyil — P düz xətt üzərində deyil.

P(0; 1): AP(−1; −1), n · AP = −2 − 1 = −3 ≠ 0. P düz xətt üzərində deyil.

Lime düz xətt A-dan keçən və n-ə perpendikulyar olan yeganə düz xəttdir. Düz bucaq işarəsi yalnız P düz xətt üzərində olanda görünür.

Deməli, P nöqtəsi düz xətt üzərindədir ⇔ AP ⊥ n ⇔ n · AP = 0 (6.11-dəki perpendikulyarlıq şərti). İndi P-nin yerinə ixtiyari P(x; y) nöqtəsi götürək: AP(x − 1; y − 2), onda

2(x − 1) + 1 · (y − 2) = 0,yəni 2x + y − 4 = 0.

Hər nöqtəni ayrıca yoxlamaq əvəzinə, bütün düz xətti bir tənliklə yazdıq.

2 · Qayda

Ümumi tənlik və normal

Yadda saxla

«Müstəvi koordinat sistemində düz xəttin tənliyi ax + by + c = 0 şəklində ifadə edilir. Bu tənliyə düz xəttin ümumi tənliyi də deyilir.»

«Düz xəttə perpendikulyar olan vektor düz xəttin normal vektoru və ya normalı adlanır.»

ax + by + c = 0

«Burada a² + b² > 0.»

Düz xətt, onun iki nöqtəsi və normal vektoru

P₀P düz xətt boyunca gedir, n isə ona perpendikulyardır.

Niyə belədir? P₀(x₀; y₀) düz xətt üzərində verilmiş nöqtə, P(x; y) düz xəttin ixtiyari nöqtəsi, n(a; b) isə normal olsun. P₀P(x − x₀; y − y₀) vektoru normala perpendikulyardır, ona görə skalyar hasil sıfırdır:

n · P₀P = 0 a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0 ax + by − ax₀ − by₀ = 0 c = −ax₀ − by₀ ⇒ ax + by + c = 0

Normal sıfır vektor ola bilməz, ona görə a və b eyni zamanda sıfır deyil: a² + b² > 0.

Əmsallar — normaldır

ax + by + c = 0 → n(a; b)

x və y-in əmsalları normalın koordinatlarıdır: 2x + y − 4 = 0 düz xəttinin normalı n(2; 1)-dir.

Eyni düz xətt

4x + 2y − 8 = 0

Tənliyi 2-yə vurduq — düz xətt dəyişmədi. Yeni normal (4; 2) = 2 · (2; 1) əvvəlkinə kollineardır.

3 · Xüsusi hallar

Əmsallardan biri sıfır olanda

a, b və ya c sıfır olanda düz xəttin vəziyyəti tənlikdən dərhal görünür. Normala bax: o həmişə düz xəttə perpendikulyardır.

a = 0, b ≠ 0

y = −cb /

absis oxuna paralel düz xəttin tənliyi

y − 2 = 0: absis oxuna paralel düz xətt

y − 2 = 0: normal n(0; 1) şaquli, düz xətt üfüqidir.

a ≠ 0, b = 0

x = −ca /

ordinat oxuna paralel düz xəttin tənliyi

x + 2 = 0: ordinat oxuna paralel düz xətt

x + 2 = 0: normal n(1; 0) üfüqi, düz xətt şaquldir.

c = 0

ax + by = 0

koordinat başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyi

x − 2y = 0: koordinat başlanğıcından keçən düz xətt

x − 2y = 0: O(0; 0) tənliyi ödəyir, çünki 0 − 0 = 0.

4 · Hesabla

Nöqtə və normal verilib

A(4; −2) nöqtəsindən keçən, normalı n(5; 3) olan düz xətt

Dərslikdəki kimi normal O-dan qurulub; l ona perpendikulyardır və A-dan keçir.

Nümunə 1İki üsulla

A(4; −2) nöqtəsindən keçən və normalı n(5; 3) olan l düz xəttinin tənliyini yazın.

1-ci üsul: skalyar hasil

1. P(x; y) — l üzərində A-dan fərqli nöqtə: AP(x − 4; y + 2).
2. n ⊥ AP, ona görə n · AP = 0: 5(x − 4) + 3(y + 2) = 0.
3. Mötərizələri açırıq: 5x − 20 + 3y + 6 = 0.

2-ci üsul: c-ni tapmaq

1. Normal (5; 3) olduğundan tənlik 5x + 3y + c = 0 şəklindədir.
2. A(4; −2) düz xətt üzərindədir: 5 · 4 + 3 · (−2) + c = 0, c = −14. 5x + 3y − 14 = 0

Yoxlama: P(1; 3) üçün 5 + 9 − 14 = 0 ✓

Nümunə 2Perpendikulyar düz xətt

B(2; −1) nöqtəsindən keçən və x + 3y − 5 = 0 düz xəttinə perpendikulyar olan düz xəttin tənliyini yazın.

1. Verilmiş düz xəttin normalı n₁(1; 3). Axtarılan düz xətt ona perpendikulyardır, ona görə n₁ axtarılan düz xətt boyunca yönəlir.
2. Yeni normal n₁-ə perpendikulyar olmalıdır: n₂(3; −1), çünki 1 · 3 + 3 · (−1) = 0.
3. B(2; −1) və n₂: 3(x − 2) − (y + 1) = 0. 3x − y − 7 = 0

Yoxlama: B üçün 6 + 1 − 7 = 0 ✓

B(2; −1) nöqtəsindən keçən və x + 3y − 5 = 0 düz xəttinə perpendikulyar düz xətt

Boz düz xəttin normalı n₁ lime düz xətt üzərinə düşür.

Normallara bax. Perpendikulyar düz xətlərin normalları da perpendikulyardır: n₁ · n₂ = 0. Paralel düz xətlərin isə normalları kollineardır, məsələn 2x + y − 4 = 0 və 2x + y + 1 = 0 düz xətlərinin hər ikisinin normalı (2; 1)-dir.

5 · Bucaq

Düz xətlər arasındakı bucaq

Dərslik: «Düz xətlər arasındakı bucağı onların normalları arasındakı bucaqla müəyyən etmək olar.» Hər normal öz düz xəttinə 90° dönükdür. İki düz xətti eyni 90° ilə döndərsək, aralarındakı bucaq dəyişmir — normallar arasındakı bucaq da elə düz xətlər arasındakı bucaqdır.

Düstur

cos θ = n₁ · n₂|n₁| · |n₂| /

Düz xətlər arasındakı bucaq normallar arasındakı bucağa bərabərdir

Narıncı qövslər: normallar arasındakı və düz xətlər arasındakı bucaq eynidir.

Nümunə 3Normallarla bucaq

x − y + 1 = 0 və 2x + y − 3 = 0 tənlikləri ilə verilmiş düz xətlər arasındakı bucağı tapın.

1. Normallar: n₁(1; −1), n₂(2; 1).
2. n₁ · n₂ = 1 · 2 + (−1) · 1 = 1; |n₁| = √2, |n₂| = √5.
3. cos θ = 1√2 · √5 / = 1√10 / ≈ 0,3162. θ ≈ 72°

Nümunə 4Açılış düz xətti ilə

2x + y − 4 = 0 və x + 3y − 7 = 0 düz xətləri arasındakı bucağı tapın.

1. n₁(2; 1), n₂(1; 3): n₁ · n₂ = 2 + 3 = 5.
2. |n₁| · |n₂| = √5 · √10 = √50 = 5√2.
3. cos θ = 55√2 / = 1√2 / . θ = 45°

İki düz xətt hero-dakı A(1; 2) nöqtəsində kəsişir: 1 + 3 · 2 − 7 = 0.

İki bucaq. Kəsişən düz xətlər iki bucaq əmələ gətirir: θ və 180° − θ. Nümunə 4-də bunlar 45° və 135°-dir. Kosinus mənfi çıxarsa, normallar arasındakı bucaq kordur; iti bucaq onda 180° − θ olur.

6 · Məsafə

Nöqtədən düz xəttə qədər

Nöqtədən düz xəttə məsafə — nöqtədən düz xəttə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğudur. Perpendikulyar normal boyunca gedir, ona görə onun vektoru normala kollineardır: P₀P = k · n.

P₀(1; 3) nöqtəsindən 3x − 4y = 3 düz xəttinə məsafə

Başla Yenidən Yenidən

Quruluş sırası: düz xətt, P₀, normal, normal boyunca perpendikulyar, oturacaq P.

Nümunə 5P₀P = k · n üsulu

P₀(1; 3) nöqtəsindən 3x − 4y = 3 düz xəttinə qədər məsafəni tapın.

1. Normal n(3; −4). Perpendikulyarın oturacağı P(x; y) olsun: P₀P(x − 1; y − 3) = k · n.
2. Komponentlər bərabərdir: x − 1 = 3k, y − 3 = −4k, yəni x = 3k + 1, y = −4k + 3.
3. P düz xətt üzərindədir: 3(3k + 1) − 4(−4k + 3) = 3, 25k − 9 = 3, k = 1225 / .
4. |P₀P| = |k| · |n| = 1225 / · √3² + (−4)² = 1225 / · 5. d = 2,4

Oturacaq: P(6125 / ; 2725 / ) = (2,44; 1,08).

Qeyd. Bu addımları hərflərlə təkrarlasaq, |ax₀ + by₀ + c| : √a² + b² ifadəsi alınır. Dərslik bu düsturu vermir; onunla cavabı yoxlaya bilərsən: |3 − 12 − 3| : 5 = 2,4.

7 · Diqqət

Normal düz xətt boyunca getmir

Səhv düşüncə

2x + y − 4 = 0 düz xətti (2; 1) boyunca gedir

(2; 1) əmsallardan gəlir, ona görə normaldır — düz xəttə perpendikulyardır.

Düzgün

boyunca: (1; −2)

Bu vektor normala perpendikulyardır: 2 · 1 + 1 · (−2) = 0.

2x + y − 4 = 0 düz xəttinin normalı və istiqaməti

Mavi — normal, narıncı — düz xətt boyunca gedən vektor.

İşarə səhvi

5(x + 4) + 3(y − 2) = 0

A(4; −2) üçün mötərizədə x − x₀ və y − y₀ olmalıdır.

Düzgün

5(x − 4) + 3(y + 2) = 0

y − (−2) = y + 2. Vərdiş et: A-nı tənlikdə yerinə qoy — 0 alınmalıdır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan M(2; −3) nöqtəsindən keçən və normalı n(1; 4) olan düz xəttin tənliyi hansıdır? Cavab variantları x + 4y − 10 = 0 x + 4y + 10 = 0 2x − 3y + 10 = 0 Düzdür! M-i yerinə qoy: 2 − 12 + 10 = 0. Yox. Əmsallar normaldan gəlir, c-ni M-i yerinə qoyub tap: c = −ax₀ − by₀. Həllə bax 1(x − 2) + 4(y + 3) = 0 ⇒ x + 4y + 10 = 0. Yoxlama: 2 + 4 · (−3) + 10 = 0.
2. Asan 3x − 5y + 2 = 0 düz xəttinin normal vektoru hansıdır? Cavab variantları (5; 3) (−5; 2) (3; −5) Əla! Normal — x və y-in əmsalları. Yox. ax + by + c = 0-da normal (a; b)-dir; c normala daxil deyil, (5; 3) isə düz xətt boyunca gedir. Həllə bax a = 3, b = −5 ⇒ n(3; −5). (5; 3) vektoru normala perpendikulyardır: 15 − 15 = 0, yəni düz xətt boyunca yönəlib.
3. Orta Hansı düz xətt ordinat oxuna paraleldir? Cavab variantları 4y − 8 = 0 4x − 8 = 0 4x − 8y = 0 Düzdür: b = 0, x = 2 — şaquli düz xətt. Yox. Ordinat oxuna paralel düz xətdə b = 0 olur: x = −c/a. Həllə bax 4x − 8 = 0 ⇒ x = 2 (b = 0, ordinat oxuna paralel). 4y − 8 = 0 ⇒ y = 2 absis oxuna paraleldir (a = 0); 4x − 8y = 0 isə O-dan keçir (c = 0).
4. Orta Hansı düz xətt 2x − 3y + 1 = 0 düz xəttinə perpendikulyardır? Cavab variantları 3x + 2y − 4 = 0 2x − 3y + 5 = 0 3x − 2y + 1 = 0 Düzdür: (2; −3) · (3; 2) = 6 − 6 = 0. Yox. Normalların skalyar hasilini yoxla — perpendikulyar düz xətlərdə o 0 olmalıdır. Həllə bax n₁(2; −3). (3; 2) ilə hasil 6 − 6 = 0 — perpendikulyar. 2x − 3y + 5 = 0-ın normalı eynidir — o, paraleldir. (3; −2) ilə hasil 6 + 6 = 12 ≠ 0: koordinatların yerini dəyişmək kifayət deyil, bir işarə də dəyişməlidir.
5. Çətin x − 4y + 2 = 0 və 3x + 5y − 1 = 0 düz xətləri arasındakı iti bucağı tapın. Cavab variantları 135° 90° 45° Əla! Normallar arasında 135°, iti bucaq 180° − 135° = 45°. Yox. Kosinus mənfidir — normallar arasındakı bucaq kordur; iti bucaq 180° − θ-dır. Hasil −17 ≠ 0, ona görə 90° deyil. Həllə bax n₁(1; −4), n₂(3; 5): hasil 3 − 20 = −17; |n₁| · |n₂| = √17 · √34 = 17√2. cos θ = −1/√2 ⇒ θ = 135°. Düz xətlər 135° və 45° bucaqlar əmələ gətirir; iti bucaq 45°-dir.
6. Çətin P₀(4; 6) nöqtəsindən 3x + 4y − 11 = 0 düz xəttinə qədər məsafəni P₀P = k · n üsulu ilə tapın. Cavab variantları −5 5 1 Düzdür: k = −1, d = |k| · |n| = 1 · 5 = 5. Yox. Məsafə mənfi ola bilməz və |k| hələ |n|-ə vurulmalıdır. Həllə bax n(3; 4), P(4 + 3k; 6 + 4k). 3(4 + 3k) + 4(6 + 4k) − 11 = 0 ⇒ 25k + 25 = 0 ⇒ k = −1. d = |k| · |n| = 1 · √(9 + 16) = 5.

Xülasə

Yadda qalanlar

• ax + by + c = 0Əmsallar normalı verir: n(a; b). c-ni düz xəttin nöqtəsini yerinə qoyub tapırıq.
• Bucaq — normallarlacos θ = n₁ · n₂ : (|n₁| · |n₂|); düz xətlər θ və 180° − θ bucaqları əmələ gətirir.
• Məsafə — P₀P = k · nOturacağı düz xəttin tənliyinə qoy, k-nı tap: d = |k| · |n|.

Növbəti mövzu: 6.13 Müstəvinin tənliyi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Düz xəttin ümumi tənliyi», səh. 54–55. Tərif, xüsusi hallar və bucaq haqda cümlə dərslikdən sitatdır; Nümunə 1, Nümunə 3 və Nümunə 5 dərsliyin nümunələridir. Qalan nümunə və sualların ədədləri bu dərs üçün seçilib.