Audio dərs · Müddət
11:28
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin ki, bir otaqdasınız. Kimsə rezin topu döşəməyə atır. Top döşəməyə dəyir, sıçrayır və düz yuxarı qalxır. Top döşəmədə olanda onun yerini iki ədədlə demək asandır. Dərslikdəki nümunədə bu iki ədəd dörd və üçdür. Amma indi top havadadır, döşəmədən iki tam onda beş metr yuxarıda. Döşəmədəki iki ədəd dəyişmədi, amma artıq kifayət etmir: onlar döşəmədən tavana qədər bütöv bir şaquli xəttin hər nöqtəsinə uyğun gəlir. Üçüncü ədəd lazımdır, hündürlük. Topun yeri üç ədəddir: dörd, üç və iki tam onda beş. Bəs niyə məhz üç? Və bu ədədləri necə oxumalı ki, hər kəs eyni nöqtəni tapsın? Bu gün fəzada Dekart koordinat sistemini öyrənəcəyik. Burada şəkil yoxdur, ona görə də sistemi birlikdə, sözlə, öz otağınızda quracağıq. İstəsəniz, gözlərinizi yumun. Beləliklə, otaqdasınız və üzünüz arxa divara tərəfdir. Sol tərəfə, aşağıya baxın: arxa divar, sol divar və döşəmə orada, bir küncdə görüşür. Bu künc koordinat başlanğıcıdır, ona O deyirik. Bu küncdən üç düz kənar çıxır. Birincisi döşəmə boyunca, sol divarın dibi ilə, sizə tərəf gəlir. Bu, iks oxudur. İkincisi döşəmə boyunca, arxa divarın dibi ilə, sağa gedir. Bu, iqrek oxudur. Üçüncüsü iki divarın birləşdiyi tikiş boyunca düz yuxarı qalxır. Bu, zet oxudur. Bu üç düz xətt cüt-cüt perpendikulyardır. Hər oxda müsbət istiqamət və uzunluq vahidi seçirik. Bizim otaqda vahid bir metrdir. Bu düzülüşü yoxlamaq üçün dərslikdə bir qayda var. Sağ əlinizi qaldırın. Barmaqlarınızı iks oxunun müsbət istiqamətindən, yəni sizə tərəfdən, iqrek oxunun müsbət istiqamətinə, yəni sağa doğru bükün. Baş barmağınız yuxarı baxacaq. Bu, zet oxunun müsbət istiqamətidir. Belə sistemə sağ əl sistemi deyilir. Bir şeyi də unutmayın: oxlar küncdə bitmir. Koordinat başlanğıcı hər oxu iki yarıma bölür: otağın içinə baxan müsbət yarımox və divarın arxasına, ya da döşəmənin altına gedən mənfi yarımox. İndi otağın özünə baxın. Hər cüt ox bir müstəvi müəyyən edir. Döşəmədə iks və iqrek oxları var. Bu, iks-iqrek müstəvisidir, onu adətən üfüqi götürürük. Arxa divarda iqrek və zet oxları var. Bu, iqrek-zet müstəvisidir. Sol divarda isə zet və iks oxları var. Bu, zet-iks müstəvisidir. Deməli, döşəmə və iki divar koordinat müstəviləridir. İndi topa qayıdaq. Onun yerini üç sualla tapırıq. Birinci sual: top arxa divardan nə qədər uzaqdır? Bu məsafəni iks oxu boyunca ölçürük. Cavab dörd metrdir. Bu ədədə absis deyilir. İkinci sual: sol divardan nə qədər uzaqdır? Bunu iqrek oxu boyunca ölçürük. Cavab üç metrdir. Bu, ordinatdır. Üçüncü sual: döşəmədən nə qədər hündürdür? Cavab iki tam onda beş metrdir. Bu, applikatdır. Topun koordinatları belə deyilir: absis dörd, ordinat üç, applikat iki tam onda beş. Sıra dəyişməzdir: əvvəl absis, sonra ordinat, sonra applikat. Ona görə dərslik bunu nizamlı üçlük adlandırır. Üç, dörd, iki tam onda beş isə başqa nöqtə olardı. Bu suallardan sadə bir nəticə çıxır. Nöqtə döşəmədədirsə, applikatı sıfırdır. Arxa divardadırsa, absisi sıfırdır. Sol divardadırsa, ordinatı sıfırdır. Ox iki müstəvinin kəsişdiyi yerdir, ona görə oxun üzərindəki nöqtənin iki koordinatı sıfırdır. Məsələn, küncdəki şaquli tikişdə absis də, ordinat da sıfırdır, yalnız applikat qalır. Küncün özü isə sıfır, sıfır, sıfırdır. Qısaca: bir sıfır nöqtəni müstəviyə, iki sıfır oxa, üç sıfır isə başlanğıca bağlayır. Bu üç ədədə nöqtənin Dekart koordinatları da deyilir. Ad Rene Dekartdan gəlir. Dərslik yazır ki, analitik həndəsənin əsasını Dekart və Pyer de Fermat qoyublar, amma müxtəlif yollarla. Dekart verilmiş əyridən başlayıb onun tənliyini axtarırdı. Fermat isə verilmiş tənlikdən başlayıb onun əyrisini axtarırdı. Dekart nəticələrini əvvəl çap etdirdi, Fermatın nəticələri isə onun ölümündən çox sonra məlum oldu. Dərslik İsaak Nyutonun belə bir sözünü də xatırladır: «Mən Dekartdan daha irəli gedə bildim, çünki mənim arxamda onun kimi nəhəng dayanmışdı.» İndi divarların o tayına keçək. Təsəvvür edin ki, döşəmə və iki divar sonsuza qədər uzanır. Arxa divarın o tayında absis mənfidir. Sol divarın o tayında ordinat mənfidir. Döşəmənin altında applikat mənfidir. Hər koordinat müstəvisi fəzanı iki yarımfəzaya bölür, üçü birlikdə isə səkkiz hissəyə. Bu hissələrə oktant deyilir. Bizim otaq birinci oktantdır: burada üç koordinatın hamısı müsbətdir. Birincidən dördüncüyə qədər oktantlar döşəmədən yuxarıdadır və müstəvidəki rüblər kimi nömrələnir. Beşincidən səkkizinciyə qədər oktantlar onların altındadır, eyni sırada. Yeddinci oktant arxa divarın o tayında, sol divarın o tayında və döşəmənin altındadır. Orada üç koordinatın hamısı mənfidir. Bir nöqtə yoxlayaq: absis mənfi iki, ordinat üç, applikat mənfi bir. Mənfi iki deyir: arxa divarın o tayında. Üç deyir: sol divarın bu tərəfində. Mənfi bir deyir: döşəmədən aşağıda. İşarələr belədir: mənfi, müsbət, mənfi. Arxa divarın o tayında, döşəmədən yuxarıda ikinci oktant yerləşir. Bizim nöqtə onun altındadır, deməli, altıncı oktantdadır. Oktant üçün ədədlərin özü yox, yalnız işarələri lazımdır. Mənfi işarə kiçik demək deyil, divarın o biri tərəfi deməkdir. İndi işığı yandıraq. Təsəvvür edin ki, işıq düz yuxarıdan, döşəməyə perpendikulyar düşür. Topun kölgəsi düz onun altında olacaq. Bu nöqtə topdan döşəməyə endirilmiş perpendikulyarın oturacağıdır. Onun koordinatları: dörd, üç, sıfır. Applikat sıfır oldu, çünki kölgə döşəmədədir. İndi fənəri qarşıdan, düz arxa divara tutaq. Kölgə: sıfır, üç, iki tam onda beş. Bu dəfə absis sıfır oldu. Fənəri sağdan, düz sol divara tutsaq: dörd, sıfır, iki tam onda beş. Qayda sadədir: müstəvidəki oturacaqda o müstəvidə olmayan oxun koordinatı sıfıra çevrilir, qalan ikisi olduğu kimi qalır. Oxlara da perpendikulyar endirmək olar. Topdan zet oxuna, yəni küncdəki şaquli tikişə endirilən perpendikulyarın oturacağı: sıfır, sıfır, iki tam onda beş. İks oxundakı oturacaq: dörd, sıfır, sıfır. İqrek oxundakı: sıfır, üç, sıfır. Oxda yalnız həmin oxun öz koordinatı qalır. İndi ölçək: top küncdən nə qədər uzaqdır? Əvvəlcə kölgədən başlayaq. Kölgəyə çatmaq üçün küncdən iks oxu boyunca dörd metr, sonra iqrek oxuna paralel üç metr gedirik. Bu iki addım düzbucaqlı üçbucağın katetləridir. Pifaqor teoremi ilə: dördün kvadratı on altıdır, üçün kvadratı doqquzdur, cəmi iyirmi beşdir. Deməli, kölgə küncdən beş metr uzaqdadır. Bu, məşhur üç, dörd, beş üçbucağıdır. Top isə kölgəsinin düz üstündədir. Küncü, kölgəni və topu birləşdirsək, yenə düzbucaqlı üçbucaq alınır, bu dəfə şaquli. Bir kateti döşəmədəki parça, o biri topun hündürlüyüdür. Pifaqor teoremini ikinci dəfə tətbiq edirik. Nəticədə küncdən nöqtəyə qədər məsafənin kvadratı üç koordinatın kvadratlarının cəminə bərabərdir. Bu dərsin yeganə düsturunu sözlə deyək: iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq üçün absislərin, ordinatların və applikatların fərqini tapın, hər fərqi kvadrata yüksəldin, kvadratları toplayın və cəmdən kvadrat kök alın. Bir misal. Tavanda bir lampa var: absis altı, ordinat iki, applikat üç. Yəni arxa divardan altı metr, sol divardan iki metr, döşəmədən üç metr. Lampa küncdən nə qədər uzaqdır? Kvadratlar: otuz altı, dörd və doqquz. Cəmi qırx doqquz. Qırx doqquzdan kvadrat kök yeddidir. Lampa küncdən yeddi metr uzaqdadır. Son sual: parçanın ortası haradadır? Təsəvvür edin ki, küncdən lampaya bir ip dartmışıq. İpin ortasını tapmaq üçün hər koordinatı ayrıca yarıya bölürük. Absis sıfırla altının ortasındadır, yəni üçdür. Ordinat sıfırla ikinin ortasındadır, yəni birdir. Applikat sıfırla üçün ortasındadır, yəni bir tam onda beşdir. İpin ortası: üç, bir, bir tam onda beş. Ümumi qayda: orta nöqtənin hər koordinatı ucların uyğun koordinatlarının cəminin yarısıdır. Parçanı başqa nisbətdə bölən nöqtə və üçbucağın ağırlıq mərkəzi də eyni fikirlə, hər koordinatla ayrıca tapılır. Onların addımlarını oxu dərsində və videoda izləyə bilərsiniz. İndi otağa qayıdaq. Top yenə sıçrayır. Onun yerini bilmək üçün üç sual kifayətdir: arxa divardan nə qədər uzaqdır, sol divardan nə qədər uzaqdır və döşəmədən nə qədər hündürdür. Fəzanın üç istiqaməti var, ona görə nöqtəyə üç ədəd lazımdır: absis, ordinat və applikat, məhz bu sırada. İşarələr oktantı deyir. Kölgə bir koordinatı sıfıra çevirir. Məsafə isə iki dəfə tətbiq olunan Pifaqor teoremidir. Növbəti dəfə otağa girəndə küncə baxın: koordinat sistemi elə oradadır.