Fəzada üçbucağın medianının uzunluğu

1 · Əsas fikir

Medianın uzunluğu

Qayda

Üçbucağın medianı təpəni qarşı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirir. AM medianının uzunluğu üçün:

1) BC-nin orta nöqtəsi M((x_B + x_C)/2; (y_B + y_C)/2; (z_B + z_C)/2); 2) AM = √((x_M − x_A)² + (y_M − y_A)² + (z_M − z_A)²).

Ağırlıq mərkəzi G((x_A + x_B + x_C)/3; …) medianı A‑dan sayaraq 2 : 1 nisbətində bölür.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələFəzada üçbucağın medianının uzunluğu

Təpələri A(2; −1; 3), B(4; 5; −1), C(−2; 1; 5) olan üçbucağın AM medianının uzunluğunu tapın.

1. M nöqtəsi. AM medianı BC-nin orta nöqtəsinə çəkilir: M((4 − 2)/2; (5 + 1)/2; (−1 + 5)/2) = M(1; 3; 2).
2. Fərqlər. x: 1 − 2 = −1; y: 3 − (−1) = 4; z: 2 − 3 = −1.
3. Uzunluq. AM = √(1 + 16 + 1) = √18 = √(9 · 2) = 3√2.

Cavab: 3√2

Üçbucağın AM medianı

M — BC-nin orta nöqtəsi M(1; 3; 2), AM — median, G — ağırlıq mərkəzi (sxematik).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

BM² = (−3)² + (−2)² + 3² = 22 və MC² = 3² + 2² + (−3)² = 22: M BC-nin ortasıdır. AG = (2/3) · 3√2 = 2√2 — bu, median deyil, ağırlıq mərkəzinə qədər olan hissədir.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

AM = BC/2

Median qarşı tərəfin yarısı ilə qarışdırılıb.

Düzgün

AM = |A M|, M = (B + C)/2

Əvvəl orta nöqtə, sonra məsafə.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 18 — Bu, AM²-dir: kvadrat kök alınmayıb.
• √22 — Bu, BC tərəfinin yarısıdır (BM). Median A‑dan BC-nin orta nöqtəsinə çəkilir; onun uzunluğu BC/2‑yə yalnız A bucağı düz olanda bərabər olardı.
• 2√2 — Bu, A‑dan ağırlıq mərkəzinə qədər məsafədir — medianın 2/3 hissəsi.
• 5√2 — B və C-nin koordinatları toplanıb, 2‑yə bölünməyib: M əvəzinə (2; 6; 4) götürülüb.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi», səh. 34–41.