Fəzada iki nöqtə arasındakı məsafə

1 · Əsas fikir

İki nöqtə arasındakı məsafə

Qayda

P(x₁; y₁; z₁) və Q(x₂; y₂; z₂) nöqtələri arasındakı məsafə

PQ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

PQ tilləri oxlara paralel olan paralelepipedin diaqonalıdır, tillər isə koordinat fərqlərinin modullarıdır. Koordinat başlanğıcından məsafə: OP = √(x² + y² + z²).

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələFəzada iki nöqtə arasındakı məsafə

A(2; −1; 3) və B(−1; 3; 5) nöqtələri arasındakı məsafəni tapın.

1. Fərqlər. x: −1 − 2 = −3; y: 3 − (−1) = 4; z: 5 − 3 = 2.
2. Kvadratlar. (−3)² = 9, 4² = 16, 2² = 4; cəmi 29.
3. Kök. AB = √29 (29 sadə ədəddir, kök sadələşmir).

Cavab: √29

İki nöqtə arasındakı məsafə — paralelepipedin diaqonalı

AB diaqonalı: tillər |Δx| = 3, |Δy| = 4, |Δz| = 2; AB = √(9 + 16 + 4) = √29.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

B‑dən A‑ya hesablasaq fərqlər 3, −4, −2 olur — kvadratlar yenə 9, 16, 4. √29 ≈ 5,39 > 5: diaqonal döşəmədəki 5 uzunluqlu parçadan uzundur.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

(−3)² = −9

Mənfi ədədin kvadratı mənfi yazılıb.

Düzgün

(−3)² = 9

Fərqin işarəsi kvadratda itir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 9 — Koordinat fərqlərinin modulları sadəcə toplanıb: 3 + 4 + 2. Məsafə fərqlərin kvadratları cəminin kvadrat köküdür.
• √11 — (−3)² = 9‑dur, −9 deyil. Mənfi fərqin kvadratı da müsbətdir: 9 + 16 + 4 = 29.
• 5 — Yalnız x və y fərqləri götürülüb (müstəvi düsturu). Fəzada z fərqi də əlavə olunur: (5 − 3)² = 4.
• √69 — Fərqlər yox, cəmlər götürülüb: (2 + (−1))², (−1 + 3)², (3 + 5)². Düsturda x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁ var.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi», səh. 34–41.