Fəzada Dekart koordinat sistemi

• 6.9
• 11-ci sinif
• Fəzada vektorlar

Fəzada Dekart koordinat sistemi

Akvariumdakı balığın yerini necə deyərsən? Arxa şüşədən 3, sol şüşədən 5, dibdən 2 desimetr — üç ədəd: P(3; 5; 2). Fəzada hər nöqtənin ünvanı belə üç ədəddir.

Bu dərsdə

• fəzada koordinat oxlarını, müstəvilərini və səkkiz oktantı tanıyacaq, nöqtəni üç koordinatı ilə quracaqsan;
• nöqtədən oxlara və müstəvilərə çəkilən perpendikulyarların oturacaqlarını və müstəvilərə qədər məsafələri tapacaqsan;
• iki nöqtə arasındakı məsafəni, parçanın orta nöqtəsini, onu verilmiş nisbətdə bölən nöqtəni və ağırlıq mərkəzini hesablayacaqsan.

• x · absis
• y · ordinat
• z · applikat

Akvariumda balığın yeri üç ədədlə: P(3; 5; 2)

Başla Yenidən Yenidən

1. Niyə üç ədəd?
2. Oxlar və müstəvilər
3. Oktantlar
4. Koordinatlar
5. Qur və tap
6. Məsafə
7. Hesabla
8. Orta nöqtə və nisbət
9. Bölən nöqtə
10. Diqqət
11. Həyatda
12. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Niyə üç ədəd?

Düz xətt üzərində nöqtənin yerini bir ədəd, müstəvidə iki ədəd — (x; y) cütü — müəyyən edir. Balıq isə akvariumun dibində deyil, suyun içindədir: onun yerini demək üçün üçüncü ədəd lazımdır.

Akvariumun arxa-sol-alt küncünü O ilə işarə edək və oradan çıxan üç tili ox kimi götürək: x — arxa şüşədən baxana doğru, y — sol şüşədən sağa, z — dibdən yuxarı. Bir şüşə seç və fiqura bax: P-dən həmin şüşəyə ən qısa yol — perpendikulyar — işıqlanacaq.

Balıqdan hara qədər?

arxa şüşəyə sol şüşəyə dibə

Balıqdan üç divara qədər məsafələr

Akvarium 4 dm dərinlikdə, 8 dm uzunluqda, 5 dm hündürlükdədir; bir vahid 1 dm-dir.

Arxa şüşəyə — 3 dm. Arxa şüşə y və z oxlarından keçən müstəvidir (Oyz). Ona qədər məsafə x istiqamətində ölçülür: x = 3.

Sol şüşəyə — 5 dm. Sol şüşə z və x oxlarından keçən müstəvidir (Ozx). Məsafə y istiqamətində ölçülür: y = 5.

Dibə — 2 dm. Dib x və y oxlarından keçən üfüqi müstəvidir (Oxy). Məsafə z istiqamətində ölçülür: z = 2.

Üç məsafə — üç ədəd. Balığın yeri P(3; 5; 2) kimi yazılır: bunlar nöqtənin fəzadakı koordinatlarıdır.

2 · Qayda

Üç ox, üç müstəvi

Yadda saxla

Fəzada ixtiyari O nöqtəsindən cüt-cüt perpendikulyar üç düz xətt keçirək və onların üzərində müsbət istiqamət və uzunluq vahidi seçək. Bu düz xətlər Ox, Oy, Oz koordinat oxlarıdır, O — koordinat başlanğıcıdır.

• O hər oxu iki yarımoxa — müsbət və mənfi yarımoxa bölür. Mənfi yarımoxlar qırıq xətlə çəkilir və x′, y′, z′ ilə işarələnir.
• Oxlar cüt-cüt kəsişərək koordinat müstəvilərini yaradır: Oxy, Oyz, Ozx (qısa yazılışı xy, yz, zx).
• Oxy müstəvisi şərti olaraq üfüqi götürülür, Oz oxu isə müsbət istiqaməti yuxarı olmaqla şaquli çəkilir.

O · Ox, Oy, Oz · Oxy, Oyz, Ozx

Koordinat oxları, yarımoxlar və üç koordinat müstəvisi

Müstəvilərin yalnız bir hissəsi rənglənib — əslində hər biri sonsuzdur. Rəng müstəvidə olmayan oxun rəngidir: Oyz-ə qədər məsafə x ilə ölçülür (mavi), Ozx-ə — y ilə (narıncı), Oxy-ə — z ilə (lime).

Sağ əl sistemi

Sağ əlinin barmaqlarını +x-dən +y-ə doğru bük — baş barmaq +z istiqamətini göstərəcək (fiqurda Oxy-dəki qövs). Belə sistemə sağ əl sistemi deyilir.

Dərslikdəki görünüş

Fəza şəkillərində x oxu baxana doğru — aşağı-sola, y sağa, z yuxarı çəkilir. Bu dərsin bütün fiqurları belədir.

Bunları bilmək maraqlıdır!

Dekart və Fermat analitik həndəsənin əsaslarını qoymuş böyük alimlərdir. Dekart öz nəticələrini ilk olaraq nəşr etdirmişdir. Fermatın nəticələri isə onun ölümündən çox sonralar işıq üzü görmüşdür. Maraqlıdır ki, onlar eyni nəticələrə tam fərqli yanaşmalarla gəlmişlər: Dekart verilən əyrinin tənliyini axtarmaqdan, Fermat isə verilən tənliyə uyğun əyrini axtarmaqdan başlamışdır. Cəbri qaydaların həndəsəyə tətbiqi analitik həndəsənin yaranmasına gətirmişdir.

Sonralar analitik həndəsəni təkmilləşdirən, riyazi analizin yaradıcısı İsaak Nyuton yazırdı: «Mən Dekartdan daha irəli gedə bildim, çünki mənim arxamda onun kimi nəhəng dayanmışdı».

Rene Dekart (1596-1650) · Pyer de Fermat (1607-1665)

3 · Qayda

Səkkiz oktant

Hər koordinat müstəvisi fəzanı iki yarımfəzaya ayırır. Üç müstəvi birlikdə fəzanı səkkiz hissəyə — oktanta bölür. Oktantın adı onu hüdudlayan yarımoxlardan düzəlir: Ox′yz — x-in mənfi, y və z-in müsbət yarımoxları arasındakı oktantdır.

Oktant seç

I II III IV V VI VII VIII

Səkkiz oktant: seçilmiş oktantdakı kub

Kubun O-dan çıxan üç tili seçilmiş oktantı hüdudlayan yarımoxlar üzərindədir.

I oktant · Oxyz — işarələr (+; +; +): üç koordinat da müsbətdir.

II oktant · Ox′yz — (−; +; +): yalnız x mənfidir.

III oktant · Ox′y′z — (−; −; +): x və y mənfi, z müsbət.

IV oktant · Oxy′z — (+; −; +): yalnız y mənfidir.

V oktant · Oxyz′ — (+; +; −): I oktantın düz altında, yalnız z mənfidir.

VI oktant · Ox′yz′ — (−; +; −): II oktantın altında.

VII oktant · Ox′y′z′ — (−; −; −): bütün koordinatlar mənfidir.

VIII oktant · Oxy′z′ — (+; −; −): IV oktantın altında.

Oktantlarda koordinatların işarələri

I–IV oktantlar Oxy müstəvisindən yuxarıda yerləşir və müstəvidəki rüblər kimi nömrələnir; V–VIII oktantlar onların altında eyni sıra ilə gəlir. Birinci oktantda bütün koordinatlar müsbət, yeddincidə isə mənfidir.

4 · Qayda

Nöqtənin koordinatları

Yadda saxla

P nöqtəsindən Oyz, Ozx və Oxy müstəvilərinə paralel müstəvilər keçirək. Onlar oxları A(x₀; 0; 0), B(0; y₀; 0), C(0; 0; z₀) nöqtələrində kəsir. (x₀; y₀; z₀) nizamlı üçlüyü P nöqtəsinin koordinatları, yaxud Dekart koordinatları adlanır: x₀ — absis, y₀ — ordinat, z₀ — applikat.

P(x₀; y₀; z₀)

«Nizamlı» — sıra vacibdir: (3; 5; 2) və (5; 3; 2) fərqli nöqtələrdir. P-dən yz, zx və xy müstəvilərinə qədər məsafələr uyğun olaraq |x₀|, |y₀|, |z₀|-a bərabərdir.

Üç paralel müstəvi P ətrafında bir qutu kəsir — koordinat qutusu. Onun təpələri P-nin oxlar və müstəvilər üzərindəki proyeksiyalarıdır, yəni P-dən çəkilən perpendikulyarların oturacaqlarıdır.

Qutuda nəyə baxaq?

oxlara perpendikulyarlar müstəvilərə perpendikulyarlar O → A → M → P yolu

Koordinat qutusu: P nöqtəsi və onun oxlar və müstəvilər üzərindəki proyeksiyaları

Koordinat qutusu: OA = x₀, OB = y₀, OC = z₀.

Oxlarda: P-dən Ox-a perpendikulyarın oturacağı A(x₀; 0; 0), Oy-a — B(0; y₀; 0), Oz-a — C(0; 0; z₀). Oxdakı oturacaqda yalnız həmin oxun koordinatı qalır, qalan ikisi 0 olur.

Müstəvilərdə: Oxy-də M(x₀; y₀; 0), Ozx-də N(x₀; 0; z₀), Oyz-də L(0; y₀; z₀). Müstəvidəki oturacaqda o müstəvidə olmayan koordinat sıfırlanır. Perpendikulyarların uzunluqları: PL = |x₀|, PN = |y₀|, PM = |z₀|.

Qurma yolu: O-dan Ox boyunca x₀ vahid — A; y-ə paralel y₀ vahid — M; z-ə paralel z₀ vahid — P. Koordinat mənfidirsə, həmin oxun mənfi yarımoxu istiqamətində gedirik.

Nöqtə harada yerləşir?

5 · Hesabla

Nöqtəni qur, proyeksiyaları tap

Nümunə 1Mənfi koordinatlı nöqtə

Q(−3; 4; 2) nöqtəsini qurun və onun hansı oktantda yerləşdiyini müəyyən edin.

Q(−3; 4; 2) nöqtəsinin qurulması

Başla Yenidən Yenidən

1. x = −3 mənfidir: O-dan x-in mənfi yarımoxu (x′) boyunca — geriyə — 3 vahid gedirik: A(−3; 0; 0).
2. A-dan y oxuna paralel 4 vahid sağa: M(−3; 4; 0). M nöqtəsi Oxy müstəvisindədir.
3. M-dən z oxuna paralel 2 vahid yuxarı: Q nöqtəsi alınır.
4. İşarələr (−; +; +) — bu, Ox′yz oktantıdır. Q(−3; 4; 2) — II oktantda

Nümunə 2Oturacaqlar və məsafələr

P(4; −3; 2) nöqtəsindən koordinat oxlarına və koordinat müstəvilərinə çəkilmiş perpendikulyarların oturacaqlarını və P-dən koordinat müstəvilərinə qədər məsafələri tapın.

P(4; −3; 2) nöqtəsi və perpendikulyarların oturacaqları

y mənfi olduğundan P-nin qutusu Oy-un mənfi tərəfindədir.

1. Oxda bir koordinat qalır: Ox-da A(4; 0; 0), Oy-da B(0; −3; 0), Oz-da C(0; 0; 2).
2. Müstəvidə olmayan koordinat sıfırlanır: Oxy-də M(4; −3; 0), Oxz-də N(4; 0; 2), Oyz-də L(0; −3; 2).
3. Məsafələr koordinatların modullarıdır: Oyz-ə |4| = 4, Oxz-ə |−3| = 3, Oxy-ə |2| = 2. İşarələr (+; −; +) — P IV oktantdadır. Oyz-ə 4, Oxz-ə 3, Oxy-ə 2

6 · Qayda

İki nöqtə arasındakı məsafə

Yadda saxla

P(x₁; y₁; z₁) və Q(x₂; y₂; z₂) nöqtələri arasındakı məsafə belə hesablanır:

PQ² = (x₂ − x₁)²+ (y₂ − y₁)²+ (z₂ − z₁)²

Məsafə bu cəmin kvadrat köküdür: PQ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Niyə belədir? P və Q-dan koordinat müstəvilərinə paralel müstəvilər keçirək: PQ tilləri oxlara paralel olan qutunun diaqonalı olur. Tillərin uzunluqları a = |x₂ − x₁|, b = |y₂ − y₁|, c = |z₂ − z₁|-dir.

Məsafə düsturunun isbatı: PQ qutunun diaqonalıdır

Başla Yenidən Yenidən

K — Q-nun altında, P ilə eyni hündürlükdə olan təpə. Əvvəl alt üzdə PK, sonra şaquli KQ, sonra PQ.

1. Alt üzdə PK diaqonalı: PK² = a² + b² (Pifaqor teoremi).
2. KQ şaqulidir — alt üzə perpendikulyardır, ona görə PKQ üçbucağında K bucağı düzdür: PQ² = PK² + c².
3. Deməli, PQ² = a² + b² + c² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)². Modul kvadratda itir.

Koordinat başlanğıcından məsafə

OP = √x² + y² + z²

Akvariumda küncdən balığa qədər: √(3² + 5² + 2²) = √38 ≈ 6,2 dm.

Müstəvidəki düsturun davamı

Hər iki nöqtə Oxy-dədirsə (z₁ = z₂ = 0), üçüncü toplanan sıfır olur və müstəvidən tanış düstur alınır.

7 · Hesabla

Məsafəni hesabla

Nümunə 3İki nöqtə arasında

A(1; −2; 3) və B(3; 4; 0) nöqtələri arasındakı məsafəni tapın.

1. Koordinatların fərqləri: 3 − 1 = 2; 4 − (−2) = 6; 0 − 3 = −3.
2. Kvadratların cəmi: 2² + 6² + (−3)² = 4 + 36 + 9 = 49. AB = √49 = 7

Nümunə 4Nöqtədən oxa qədər

P(6; −8; 5) nöqtəsindən Oz oxuna qədər məsafəni tapın.

1. Nöqtədən oxa məsafə perpendikulyarın uzunluğudur. Perpendikulyarın Oz üzərindəki oturacağında yalnız z qalır: C(0; 0; 5).
2. Məsafə düsturu: PC = √((0 − 6)² + (0 − (−8))² + (5 − 5)²) = √(36 + 64 + 0) = √100. PC = 10

Dərslikdə oxa qədər məsafə üçün ayrıca düstur verilmir: oturacağı tapıb məsafə düsturunu tətbiq etmək kifayətdir.

8 · Qayda

Orta nöqtə, nisbət, ağırlıq mərkəzi

Yadda saxla

P(x₁; y₁; z₁) və Q(x₂; y₂; z₂) verilib. PQ parçasında R nöqtəsi PR : RQ = m : n nisbətində bölürsə,

R(x; y; z):x = mx₂ + nx₁m + n / y = my₂ + ny₁m + n / z = mz₂ + nz₁m + n /

Orta nöqtə (m = n):

M(x; y; z):x = x₁ + x₂2 / y = y₁ + y₂2 / z = z₁ + z₂2 /

Üçbucağın ağırlıq mərkəzi — medianlarının kəsişmə nöqtəsi:

G(x; y; z):x = x₁ + x₂ + x₃3 / y = y₁ + y₂ + y₃3 / z = z₁ + z₂ + z₃3 /

AB parçasını 1 : 2 nisbətində bölən P nöqtəsi və onların Oy oxu üzərindəki proyeksiyaları

Niyə hər koordinat ayrıca? A, P, B-dən Oy-a perpendikulyar müstəvilər bir-birinə paraleldir, paralel müstəvilər isə iki düz xətti mütənasib parçalara bölür. Ona görə Oy üzərində A₁P₁ : P₁B₁ = AP : PB = 1 : 2 — P-nin ordinatı A və B-nin ordinatları arasındakı parçanı da 1 : 2 nisbətində bölür. x və z üçün də eynidir.

Düsturda nə nəyə vurulur?

m — P-dən R-ə olan hissə, amma o, Q-nun koordinatlarına vurulur: R Q-ya nə qədər yaxındırsa, Q-nun «çəkisi» o qədər böyükdür.

Ağırlıq mərkəzi niyə ədədi ortadır?

Median təpədən sayılmaqla 2 : 1 nisbətində bölünür. C təpəsindən AB-nin orta nöqtəsi M-ə çəkilən medianda m = 2, n = 1: hər koordinat (2 · M + 1 · C) : 3, yəni üç təpənin koordinatlarının ortası alınır.

9 · Hesabla

Bölən nöqtəni tap

Nümunə 5Orta nöqtə

A(−1; 4; 7) və B(5; −2; 1) nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsini tapın.

1. Hər koordinatın ortası: (−1 + 5) : 2 = 2; (4 + (−2)) : 2 = 1; (7 + 1) : 2 = 4. M(2; 1; 4)

Nümunə 6Verilmiş nisbətdə

A(2; −1; 5), B(8; 5; −1). AB parçasında AP : PB = 1 : 2 olan P nöqtəsini tapın.

1. m = 1, n = 2; m B-nin, n isə A-nın koordinatlarına vurulur, cəm m + n = 3-ə bölünür.
2. x = (1 · 8 + 2 · 2) : 3 = 4; y = (1 · 5 + 2 · (−1)) : 3 = 1; z = (1 · (−1) + 2 · 5) : 3 = 3.
3. Yoxlama: AP = √(2² + 2² + 2²) = 2√3, PB = √(4² + 4² + 4²) = 4√3 — nisbət 1 : 2. P(4; 1; 3)

Nümunə 7Ağırlıq mərkəzi

Təpələri A(2; 0; −1), B(−3; 4; 5), C(4; 5; 2) olan üçbucağın ağırlıq mərkəzini tapın.

1. (2 − 3 + 4) : 3 = 1; (0 + 4 + 5) : 3 = 3; (−1 + 5 + 2) : 3 = 2. G(1; 3; 2)

10 · Diqqət

İki tipik səhv

Oturacaq: oxda, yoxsa müstəvidə?

Səhv

P(4; −3; 2) → Oxz-də (0; −3; 0)

Bu, Oy oxu üzərindəki oturacaqdır, Oxz müstəvisindəki yox.

Düzgün

P(4; −3; 2) → Oxz-də (4; 0; 2)

Oxz müstəvisində y yoxdur — yalnız y sıfırlanır, x və z qalır.

Mənfi koordinatı çıxmaq

Səhv

A(−2; 1; 4), B(3; 1; 4): (3 − 2)² = 1, AB = 1

−2-ni çıxanda işarəni itirdik.

Düzgün

(3 − (−2))² = 5² = 25, AB = 5

Mənfi ədədi çıxmaq onun modulunu toplamaqdır.

Bir də: məsafə mənfi olmur. P(4; −3; 2)-dən Oxz müstəvisinə məsafə |−3| = 3-dür, −3 deyil.

11 · Həyatda

Alpinistlərin məntəqəsi

Dərslikdəki tapşırıq: Mustafa və dostları alpinistlərlə birlikdə dağa qalxırlar. «Onlar 3 km şərqə, 2 km şimala gedib 4 km yüksəkliyə qalxmaqla nəzərdə tutduqları məntəqəyə çatmağı planlaşdırırlar.» Məntəqənin koordinatları nədir?

Dərslikdəki şəkildə olduğu kimi koordinat başlanğıcı düşərgədir: şərq sağa (Oy), hündürlük yuxarı (Oz), şimal isə geriyə yönəlib. Geriyə gedən istiqamət x-in mənfi yarımoxudur; baxana doğru gələn müsbət yarımox cənuba baxır.

1. 2 km şimala — mənfi yarımox boyunca: x = −2.
2. 3 km şərqə: y = 3. 4 km yuxarı: z = 4. M(−2; 3; 4)
3. Düşərgədən məntəqəyə düz xətt üzrə məsafə: √((−2)² + 3² + 4²) = √29 ≈ 5,4 km. Marşrut isə 2 + 3 + 4 = 9 km-dir: qutunun diaqonalı üç tilinin cəmindən qısadır.

Sağ əl qaydası ilə yoxla: barmaqları cənubdan (+x) şərqə (+y) bük — baş barmaq yuxarı baxır. Dərslik bu tapşırığa cavab çap etmir; oxların istiqaməti onun şəklindən götürülüb.

Alpinistlərin marşrutu: düşərgədən M(−2; 3; 4) məntəqəsinə

Mavi, narıncı və lime — marşrutun üç hissəsi (km ilə); qırmızı qırıq xətt — düşərgədən məntəqəyə düz xətt üzrə məsafə.

12 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan (2; −5; −1) nöqtəsi hansı oktantdadır? Cavab variantları IV VIII VII V Düzdür! (+; −; −) — Oxy′z′, VIII oktant. Üç işarəni də yaz: x müsbət, y və z mənfi. Sonra cədvələ bax. Həllə bax x = 2 > 0, y = −5 < 0, z = −1 < 0. İşarələr (+; −; −) VIII oktanta (Oxy′z′) uyğundur. IV oktantda z müsbət olardı, VII-də x də mənfi olardı.
2. Asan P(−2; 6; 3) nöqtəsindən Oyz müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyarın oturacağı hansıdır? Cavab variantları (−2; 0; 0) (0; 6; 3) (−2; 6; 0) (0; 6; 0) Düzdür! Oyz-də x yoxdur — yalnız x sıfırlanır. Müstəvidəki oturacaqda yalnız o müstəvidə olmayan koordinat sıfırlanır. Oyz-də hansı ox yoxdur? Həllə bax Oyz müstəvisinin nöqtələri (0; y; z) şəklindədir. P-nin y və z koordinatları qalır, x sıfırlanır: (0; 6; 3). (−2; 0; 0) Ox oxundakı, (−2; 6; 0) Oxy-dəki oturacaqdır.
3. Orta P(5; −4; 7) nöqtəsindən Oxz müstəvisinə qədər məsafə neçədir? Cavab variantları −4 4 5 √74 Düzdür! Oxz-ə məsafə |y| = 4. Oxz-də olmayan koordinat hansıdır? Məsafə onun moduludur və mənfi ola bilməz. Həllə bax Oturacaq N(5; 0; 7), PN = √(0² + 4² + 0²) = 4 = |−4|. −4 cavabı modulu unudur; 5 absisdir — Oyz-ə məsafə; √74 = √(5² + 7²) isə P-dən Oy oxuna qədər məsafədir.
4. Orta A(3; 0; −2) və B(−1; 4; 0) nöqtələri arasındakı məsafəni tapın. Cavab variantları 6 2√6 10 36 Əla! √(16 + 16 + 4) = √36 = 6. Fərqləri diqqətlə tap: −1 − 3 = −4. Sonra kvadratları topla və kök al. Həllə bax Fərqlər: −1 − 3 = −4, 4 − 0 = 4, 0 − (−2) = 2. AB = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6. 2√6 x-də işarə səhvindən (3 − 1 = 2), 10 fərqlərin modullarını toplamaqdan, 36 kökü unutmaqdan alınır.
5. Çətin A(−3; 5; 2) və B(7; −1; 4) nöqtələrini birləşdirən parçanın orta nöqtəsi hansıdır? Cavab variantları (5; −3; 1) (4; 4; 6) (2; 2; 3) (10; −6; 2) Düzdür! Hər koordinat iki ədədin ortasıdır. Orta nöqtədə koordinatlar toplanıb 2-yə bölünür, çıxılmır. Həllə bax (−3 + 7) : 2 = 2, (5 + (−1)) : 2 = 2, (2 + 4) : 2 = 3 → (2; 2; 3). (5; −3; 1) fərqin yarısıdır, (4; 4; 6) cəmi 2-yə bölməmək, (10; −6; 2) isə fərqdir.
6. Çətin Üçbucağın iki təpəsi A(1; 2; 3), B(4; −1; 0), ağırlıq mərkəzi G(2; 2; 2)-dir. Üçüncü təpə C hansıdır? Cavab variantları (−1; 3; 1) (1; 5; 3) (7; 3; 5) (6; 6; 6) Əla! Yoxla: (1 + 4 + 1) : 3 = 2 və s. Düsturdan: x₁ + x₂ + x₃ = 3 · 2. Deməli, x₃ = 6 − 1 − 4. Həllə bax Hər koordinat üçün x₃ = 3 · 2 − x₁ − x₂: x = 6 − 1 − 4 = 1, y = 6 − 2 − (−1) = 5, z = 6 − 3 − 0 = 3 → C(1; 5; 3). (−1; 3; 1) 3 əvəzinə 2-yə vurmaqdan (orta nöqtə kimi), (7; 3; 5) A, B, G-ni toplamaqdan, (6; 6; 6) A və B-ni çıxmamaqdan alınır.

Xülasə

Yadda qalanlar

• P(x₀; y₀; z₀)Üç ox, üç müstəvi, səkkiz oktant; x₀ — absis, y₀ — ordinat, z₀ — applikat.
• (x; 0; 0) · (x; y; 0)Oxdakı oturacaqda bir koordinat qalır, müstəvidəkində olmayan koordinat sıfırlanır; müstəviyə məsafə koordinatın moduludur.
• PQ = qutunun diaqonalıMəsafə üç fərqin kvadratları cəmindən kökdür; orta nöqtə, nisbət və ağırlıq mərkəzi hər koordinatda ayrıca hesablanır.

Növbəti mövzu: 6.10 Fəzada vektorlar

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, 2-ci bölmə «Fəzada vektorlar»: bölmənin giriş səhifəsi (tarix qutusu) və «Fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi», səh. 34–41; alpinistlər tapşırığı — səh. 37, № 4. Akvarium və nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.