Audio dərs · Müddət
12:10
Mətn (transkript)
Bir tikinti meydançasını təsəvvür edin. Ortada kiçik bir kran dayanıb. Yerdə bir dəstə kərpic var, kranın qarmağı da onun üstündədir. Kranın ayağından baxsaq, kərpiclər bir metr qərbdə və iki metr şimalda, düz yerin üstündədir. Onları eyvana qaldırmaq lazımdır. Eyvan isə kranın ayağından üç metr şərqdə, bir metr şimalda və beş metr hündürlükdədir. Kranı idarə edən usta bilmək istəyir: yük hansı tərəfə və nə qədər getməlidir? Ona iki nöqtə yox, bir ox lazımdır: başlanğıcı yükün indiki yerində, ucu eyvanda olan ox. Bu oxu cəmi üç ədədlə necə demək olar? Dərsliyin səkkizinci tapşırığı da eyni sualı verir, sadəcə kransız və eyvansız, quru ədədlərlə. Bu gün fəzada vektorlardan danışacağıq: vektor nədir, onu üç ədədlə necə yazırıq, vektorları necə toplayır, ədədə vurur və uzunluğunu necə tapırıq. Burada şəkil yoxdur, ona görə hər oxu sözlə quracağıq. Əvvəlcə yeri razılaşdıraq. Koordinat başlanğıcı kranın ayağıdır. İks oxu şərqə, iqrek oxu şimala, zet oxu isə düz yuxarı baxır. Bir vahid bir metrdir. Sağ əlinizin barmaqlarını şərqdən şimala doğru bükün: baş barmaq yuxarı baxacaq. Bu, keçən dərsdən tanış olan sağ əl sistemidir. Əvvəlcə sözün özü. Bəzi kəmiyyətləri bir ədəd tam təsvir edir, məsələn, kütlə və ya vaxt. Bəziləri üçün isə bir ədəd azdır. Desəm ki, yük beş metr yerini dəyişdi, dərhal sual yaranır: hara? Yuxarı, yoxsa şərqə? Dərslik belə deyir: təkcə qiyməti ilə deyil, həm də istiqaməti ilə müəyyən edilən kəmiyyətlərə vektorial kəmiyyətlər deyilir. Yerdəyişmə belə kəmiyyətdir, qüvvə də. Həndəsədə vektor istiqamətlənmiş düz xətt parçasıdır, yəni başlanğıcı və sonu qeyd olunmuş parça. Onu ox kimi təsəvvür edin: quyruğu başlanğıcdır, ucu isə sondur. Bu parçanın uzunluğuna vektorun uzunluğu və ya modulu deyilir. Bir xüsusi hal da var: başlanğıcı ilə sonu üst-üstə düşən vektor. Bu, sıfır vektordur. Onun uzunluğu sıfırdır, istiqaməti isə qeyri-müəyyəndir. Yük yerindən tərpənməyibsə, hansı tərəfə getdiyini soruşmağın mənası yoxdur. İndi vektoru ədədlərlə yazaq. Kranın ayağından, yəni koordinat başlanğıcından, kərpiclərə doğru bir ox çəkək. Başlanğıcı koordinat başlanğıcında, ucu verilən nöqtədə olan belə vektora yer vektoru, yaxud radius-vektor deyilir. Kərpiclərin yer vektorunu a vektoru adlandıraq. Onun komponentləri kərpiclərin koordinatlarıdır: mənfi bir, iki, sıfır. Bunu belə oxuyuruq: bir metr qərbə, iki metr şimala, yuxarı isə heç nə. Eyvanın yer vektoru b vektorudur: üç, bir, beş. Yəni üç metr şərqə, bir metr şimala, beş metr yuxarı. Komponentlərin sırası, koordinatlarda olduğu kimi, dəyişməzdir: əvvəl iks, sonra iqrek, sonra zet. Amma ustanı maraqlandıran ox kranın ayağından başlamır. O, kərpiclərin indiki yerindən başlayır və eyvanda bitir. Belə vektorun komponentləri üçün dərslikdə sadə qayda var: hər koordinatda ucun koordinatından başlanğıcın koordinatını çıxırıq. İks üzrə: üçdən mənfi biri çıxırıq, dörd alınır. İqrek üzrə: birdən ikini çıxırıq, mənfi bir alınır. Zet üzrə: beşdən sıfırı çıxırıq, beş qalır. Yükün yolunu c vektoru adlandıraq: dörd, mənfi bir, beş. Sözlə desək: dörd metr şərqə, bir metr cənuba, beş metr yuxarı. Buradakı mənfi işarəsi ədədin kiçikliyini bildirmir, əks tərəfi bildirir: şimal yox, cənub. Bu vektorun maraqlı bir xüsusiyyəti var. Tutaq ki, sabah başqa bir yük meydançanın başqa küncündən eyni hərəkəti edir: dörd metr şərqə, bir metr cənuba, beş metr yuxarı. Ox başqa yerdə çəkilib, amma uzunluğu da, istiqaməti də eynidir. Dərslik deyir: modulları bərabər, istiqamətləri eyni olan vektorlar bərabər vektorlardır. Onları paralel köçürmə ilə bir-birinin üstünə gətirmək olar, uyğun komponentləri də bərabərdir. Bəs yükü geri endirsək? Uzunluq eyni qalır, istiqamət isə tam əksinə dönür: mənfi dörd, bir, mənfi beş. Modulları bərabər, istiqamətləri əks olan belə vektorlara əks vektorlar deyilir. Əks vektorda hər komponentin işarəsi dəyişir. İndi vektorları toplayaq. Kranın ayağından kərpiclərə qədər bir ox var, bu, a vektorudur. Kərpiclərdən eyvana qədər ikinci ox var, bu, c vektorudur. İkinci oxu birincinin ucundan başlatdıq və kranın ayağından eyvana gəlib çatdıq. Bu da b vektorudur. Bu, toplamanın üçbucaq qaydasıdır: ikinci vektor birincinin ucundan başlayır, cəm isə birincinin başlanğıcından ikincinin ucuna gedən oxdur. İki vektoru eyni nöqtədən çəksək, onlar bir paraleloqramın iki tərəfi olur. Cəm isə həmin nöqtədən çıxan diaqonaldır. Bu, paraleloqram qaydasıdır. Ədədlərlə toplamaq daha da asandır: uyğun komponentləri toplayırıq. a vektoru: mənfi bir, iki, sıfır. c vektoru: dörd, mənfi bir, beş. İks üzrə mənfi bir üstəgəl dörd, üç edir. İqrek üzrə iki üstəgəl mənfi bir, bir edir. Zet üzrə sıfır üstəgəl beş, beş edir. Alınır üç, bir, beş, yəni düz eyvan. Deməli, ustanın sualı əslində belədir: a vektoruna hansı vektoru əlavə edək ki, b vektoru alınsın? Cavab b vektoru ilə a vektorunun fərqidir. Çıxma da komponentlərlə aparılır: uyğun komponentləri çıxırıq. Vektoru ədədə də vurmaq olar. Bunu da komponentlərlə edirik: hər komponenti həmin ədədə vururuq. Yük eyni istiqamətdə iki dəfə uzağa getsəydi, yolu səkkiz, mənfi iki, on olardı. Müsbət ədədə vuranda istiqamət saxlanılır, yalnız uzunluq dəyişir. Mənfi ədədə vuranda isə istiqamət əksinə dönür. Mənfi birə vurmaq elə əks vektoru verir. Bir vektor o birinin ədədə hasilidirsə, onları təsvir edən oxlar ya paraleldir, ya da eyni düz xətt üzərindədir. Belə vektorlara kollinear vektorlar deyilir. Ədədlərdə bu, komponentlərin mütənasib olması kimi görünür. Dərslikdəki nümunəyə baxaq. Birinci vektor: mənfi bir, iki, mənfi üç. İkinci vektor: mənfi üç, altı, mənfi doqquz. İkincinin hər komponenti birincinin uyğun komponentinin üç mislidir. Mənfi birin üç misli mənfi üçdür, ikinin üç misli altıdır, mənfi üçün üç misli mənfi doqquzdur. Vurduğumuz ədəd, yəni üç, müsbətdir. Deməli, bu vektorlar kollineardır və eyni istiqamətlidir. Ədəd mənfi olsaydı, əks istiqamətli olardılar. Bəs yükün yolu nə qədər uzundur? Burada keçən dərsdəki məsafə düsturu yenidən işə düşür, çünki vektorun uzunluğu onun başlanğıcı ilə ucu arasındakı məsafədir. Bu dərsin yeganə düsturunu sözlə deyək: vektorun uzunluğunu tapmaq üçün hər komponenti kvadrata yüksəldin, kvadratları toplayın və cəmdən kvadrat kök alın. Yükün yolu: dörd, mənfi bir, beş. Dördün kvadratı on altıdır. Mənfi birin kvadratı birdir. Kvadratda mənfi işarə itir, çünki bir metr cənuba da, bir metr şimala da eyni bir metrdir. Beşin kvadratı iyirmi beşdir. Cəmi qırx iki edir. Qırx ikidən kvadrat kök altı yarımdan bir az azdır. Deməli, yük düz xətt boyunca təxminən altı yarım metr yol gedəcək. Halbuki addım-addım getsəydi, dörd, bir və beş metr, cəmi on metr gedərdi. Bu halda düz ox dolanbac yoldan xeyli qısadır. İndi xüsusi bir uzunluğa baxaq: birə. Uzunluğu vahidə bərabər olan vektora vahid vektor deyilir. O, sanki kompasın əqrəbidir: yalnız istiqaməti göstərir. Fərq ondadır ki, vahid vektor yuxarı da baxa bilər. Sıfır olmayan istənilən vektordan vahid vektor almaq asandır: vektoru öz uzunluğuna bölürük. Dərslikdəki nümunə: dörd, mənfi iki, dörd vektoru. Kvadratları on altı, dörd və on altıdır. Cəmi otuz altı, kökü isə altıdır. Hər komponenti altıya bölürük və alırıq: üçdə iki, mənfi üçdə bir, üçdə iki. Bu, həmin istiqamətdəki vahid vektordur. Eyni istiqamətdə başqa uzunluqda vektor lazımdırsa, vahid vektoru o uzunluğa vururuq. Ən vacib vahid vektorlar üçdür və onlar oxlar boyunca yönəlir. Kranın ayağından bir metr şərqə: bu, i vektorudur, komponentləri bir, sıfır, sıfır. Bir metr şimala: bu, je vektorudur, sıfır, bir, sıfır. Bir metr düz yuxarı: bu, ka vektorudur, sıfır, sıfır, bir. Bunlara ort vektorlar deyilir. Bu üç vektor komplanar deyil, yəni onları bir müstəviyə yerləşdirmək olmaz, eynilə kubun bir təpəsindən çıxan üç til kimi. Elə buna görə onlardan fəzanın istənilən istiqamətini qurmaq olar. Dərslikdəki teorem deyir: istənilən vektor ort vektorlar üzrə yeganə şəkildə ayrılır. Başqa sözlə, hər vektor bir neçə şərq addımının, bir neçə şimal addımının və bir neçə yuxarı addımın cəmidir. Bu addımların sayı isə elə vektorun komponentləridir. Yükün yolu belə yazılır: dörd dəfə i vektoru, mənfi bir dəfə je vektoru və beş dəfə ka vektoru. Mənfi bir dəfə şimal addımı isə bir cənub addımıdır. Yeganə sözü də vacibdir: bu yolu ort vektorlarla başqa cür yazmaq olmaz. İndi kranın yanına qayıdaq. Usta soruşurdu: yük hara və nə qədər getməlidir? Cavab bir vektordur: dörd, mənfi bir, beş. Onu eyvanın yer vektorundan kərpiclərin yer vektorunu çıxmaqla tapdıq. Uzunluğu təxminən altı yarım metrdir. Ort vektorlarla isə o, dörd şərq addımı, bir cənub addımı və beş yuxarı addımdır. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: fəzada vektor sırası dəyişməz olan üç ədəddir və onunla bütün işlər komponent-komponent görülür. Toplamaq, çıxmaq, ədədə vurmaq, hər biri hər ox üzrə ayrıca. İşlənmiş nümunələri və tapşırıqları oxu dərsində və videoda tapa bilərsiniz.