Fəzada vektorlar

• 6.10
• 11-ci sinif
• Fəza həndəsəsi

Fəzada vektorlar

Top meydançanın küncündən eni boyu 2 m, uzunluğu boyu 4 m irəlidə, 3 m hündürlükdədir. Onun yerini bir ox göstərir: küncdən topa çəkilən r vektoru. Üç komponenti (2; 4; 3), uzunluğu isə küncdən topa qədər məsafədir: √29 ≈ 5,4 m.

Bu dərsdə

• vektoru komponentləri ilə yazacaq, uzunluğunu tapacaq, bərabər və əks vektorları tanıyacaqsan;
• vektorları həm şəkildə, həm komponentlərlə toplayacaq, çıxacaq və ədədə vuracaqsan;
• kollinear vektorları, vahid vektoru tanıyacaq və vektoru i, j, k ort vektorları ilə yazacaqsan.

Topun yer vektoru r(2; 4; 3)

Başla Yenidən Yenidən

1. Vektor nədir
2. Komponentlər
3. Uzunluq
4. Əməllər
5. Hesabla
6. Kollinear
7. Ort vektorlar
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Ox nəyi daşıyır?

Hava proqnozu «+12 °C» deyəndə bir ədəd kifayətdir. «Külək 8 m/s» isə yarımçıq məlumatdır: hansı tərəfə əsir? Küləyin sürəti, qüvvə, yerdəyişmə yalnız qiyməti ilə deyil, istiqaməti ilə də verilir.

Tərif

Təkcə qiyməti ilə deyil, həm də istiqaməti ilə müəyyən edilən kəmiyyətlərə vektorial kəmiyyətlər deyilir. Vektor, həndəsi olaraq, başlanğıcı və sonu qeyd olunmuş istiqamətlənmiş düz xətt parçasıdır.

Vektoru göstərən parçanın uzunluğuna vektorun uzunluğu və ya modulu deyilir: |AB|.

AB vektorunun hissələri

Vektorun adı başlanğıc və son hərfləri ilə, üstündə ox ilə yazılır: əvvəl başlanğıc, sonra son.

Sıfır vektor

Başlanğıc nöqtəsi ilə son nöqtəsi üst-üstə düşən vektora sıfır vektor deyilir, məsələn, AA. Onun uzunluğu 0-dır, istiqaməti isə qeyri-müəyyəndir.

Xətt, müstəvi, fəza

Vektoru birölçülü (düz xətt), ikiölçülü (müstəvi) və üçölçülü (fəza) koordinat sistemində təsvir etmək olar. Bu dərsdə fəzadayıq: hər nöqtənin üç koordinatı var.

2 · Qayda

Yer vektoru və komponentlər

Dərsin əvvəlindəki top vektoru koordinat başlanğıcından çıxırdı. Belə vektorun sonu nöqtənin özüdür, ona görə vektoru nöqtənin koordinatları ilə yazmaq olar.

Yadda saxla

Fəzada başlanğıc nöqtə ilə verilən nöqtəni birləşdirən vektora yer vektoru, yaxud radius-vektor deyilir. P(a; b; c) nöqtəsinin yer vektoru OP(a; b; c)-dir; a, b, c onun komponentləridir.

Başlanğıcı A(x1; y1; z1), sonu B(x2; y2; z2) olan vektor:

AB(x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1)

Son − başlanğıc. Niyə? Üçbucaq qaydası ilə OA + AB = OB, deməli AB = OB − OA: B-nin koordinatlarından A-nınkılar çıxılır.

Yazılış haqqında: dərslik komponentləri bucaq mötərizəsində yazır — bucaq mötərizəsi içində x; y; z . Bu dərsdə eyni komponentlər yuvarlaq mötərizədə, nöqtəli vergüllə yazılır: AB(1; 3; 2).

Bərabər və əks vektorlar

Modulları bərabər, istiqamətləri eyni olan vektorlara bərabər vektorlar deyilir. Bərabər vektorları paralel köçürmə ilə tamamilə bir-birinin üzərinə gətirmək olar, onların uyğun komponentləri bərabərdir (və tərsinə). Modulları bərabər, istiqamətləri əks olan vektorlar isə əks vektorlardır: komponentləri əks işarəlidir.

Fiqurda nəyi göstərək?

Bərabər vektor Əks vektor

AB vektoru, ona bərabər OM və ona əks MO

AB = (4 − 3; 3 − 0; 1 − (−1)) = (1; 3; 2). Onu O-ya köçürəndə sonu M(1; 3; 2) olur: OM = AB. Komponentlər eynidir.

MO = (0 − 1; 0 − 3; 0 − 2) = (−1; −3; −2). Uzunluğu AB ilə eynidir, istiqaməti əksdir: MO = BA. Komponentlər əks işarəlidir.

Sonsuz sayda vektor AB-yə bərabərdir; onlardan biri — OM — koordinat başlanğıcından çıxır.

3 · Qayda

Vektorun uzunluğu

Vektorun uzunluğu başlanğıc və son nöqtələri arasındakı məsafədir. Onu artıq bildiyimiz iki nöqtə arasındakı məsafə düsturu ilə tapırıq.

Teorem

Başlanğıcı və sonu uyğun olaraq P(x1; y1; z1) və Q(x2; y2; z2) olan vektorun uzunluğu:

|PQ| =√((x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²)

Nəticə. Yer vektoru üçün: |OP| = √(x² + y² + z²) — bu, koordinat başlanğıcından nöqtəyə qədər məsafədir.

Dərsin əvvəlindəki top: |r| = √(2² + 4² + 3²) = √(4 + 16 + 9) = √29 ≈ 5,4 m.

Nümunə 1Komponentlər, uzunluq, yer vektoru

Başlanğıcı A(2; −3; 1), sonu B(3; 1; 9) olan AB vektorunu komponentləri ilə yazın, uzunluğunu tapın və ona bərabər yer vektorunu göstərin.

1. Son − başlanğıc: AB = (3 − 2; 1 − (−3); 9 − 1) = (1; 4; 8).
2. Uzunluq: |AB| = √(1² + 4² + 8²) = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9.
3. Bərabər vektorların komponentləri eynidir, ona görə AB-yə bərabər yer vektoru OP(1; 4; 8), P(1; 4; 8)-dir. AB(1; 4; 8), |AB| = 9

4 · Qayda

Toplama, çıxma, ədədə vurma

Müstəvidə olduğu kimi, fəzada da vektorların cəmini, fərqini və ədədə hasilini həndəsi qurmaq olar. Eyni iki vektor götürək: u(0; 3; 2) və v(3; 2; 0).

Hansı qurmaya baxaq?

Üçbucaq qaydası Paraleloqram qaydası Fərq Ədədə vurma

u(0; 3; 2) və v(3; 2; 0) üzərində əməllər

Üçbucaq qaydası: v u-nun sonundan çəkilir; cəm u-nun başlanğıcından v-nin sonuna gedir. u + v = (0 + 3; 3 + 2; 2 + 0) = (3; 5; 2).

Paraleloqram qaydası: hər iki vektor bir nöqtədən çəkilir; cəm onların üzərində qurulan paraleloqramın diaqonalıdır. Nəticə eynidir: (3; 5; 2).

Fərq: u − v vektoru v-nin sonundan u-nun sonuna gedir, çünki v + (u − v) = u. u − v = (0 − 3; 3 − 2; 2 − 0) = (−3; 1; 2).

Ədədə vurma: 2v = (6; 4; 0) — eyni istiqamət, iki dəfə uzun (k > 0). −v = (−3; −2; 0) — əks istiqamət (k < 0).

Şəkildəki qurma ilə komponentlərlə hesab eyni nəticəni verir.

Düsturlar

u(u1; u2; u3) və v(v1; v2; v3) vektorlarının cəmi (fərqi) komponentləri uyğun komponentlərin cəminə (fərqinə) bərabər olan vektordur; ədədə vurmada hər komponent həmin ədədə vurulur:

u + v = (u1 + v1; u2 + v2; u3 + v3) u − v = (u1 − v1; u2 − v2; u3 − v3) kv = (kv1; kv2; kv3)

İstənilən k, k1, k2 ədədləri üçün: k(u + v) = ku + kv; (k1 + k2)u = k1u + k2u; (k1k2)u = k1(k2u).

Nümunə 2Komponentlərlə əməllər

a(3; −2; 1) və b(−1; 4; 2) verilir. a + b, a − b və 2a + b vektorlarını tapın.

1. a + b = (3 + (−1); −2 + 4; 1 + 2) = (2; 2; 3).
2. a − b = (3 − (−1); −2 − 4; 1 − 2) = (4; −6; −1). Mənfi ədədi çıxanda işarəyə diqqət: 3 − (−1) = 4.
3. Əvvəl ədədə vurma: 2a = (6; −4; 2), sonra toplama: (6 − 1; −4 + 4; 2 + 2) = (5; 0; 4). (2; 2; 3), (4; −6; −1), (5; 0; 4)

5 · Hesabla

Vektorlar bərabərdirmi?

İki vektorun bərabər olub-olmadığını yoxlamaq üçün şəkil çəkmək lazım deyil: komponentləri müqayisə etmək kifayətdir.

Nümunə 3Komponentləri müqayisə et

P(1; 2; −1), Q(4; 0; 3), R(−2; 5; 0), S(1; 3; 4) nöqtələri verilir. PQ = RS bərabərliyi doğrudurmu?

1. PQ = (4 − 1; 0 − 2; 3 − (−1)) = (3; −2; 4).
2. RS = (1 − (−2); 3 − 5; 4 − 0) = (3; −2; 4).
3. Uyğun komponentlər bərabərdir, deməli vektorlar bərabərdir. PQ = RS

Bunun həndəsi mənası: PQ və RS parçaları paralel və bərabərdir. R nöqtəsi PQ düz xəttində deyil: PR(−3; 3; 1) vektoru PQ-yə kollinear deyil. Ona görə PQSR paraleloqramdır.

6 · Qayda

Kollinear vektorlar

Yadda saxla

Vektorları təsvir edən istiqamətlənmiş parçalar paraleldirsə və ya eyni düz xətt üzərindədirsə, onlara kollinear vektorlar deyilir.

a ≠ 0 və b kollineardırsa, elə yeganə k ədədi var ki, b = k · a. k > 0 — eyniistiqamətli, k < 0 — əks istiqamətli.

Komponentlər mütənasibdir: b1 = ka1, b2 = ka2, b3 = ka3; sıfır komponent yoxdursa, b1 : a1 = b2 : a2 = b3 : a3 = k.

a, 2a və −1,5a kollinear vektorları

Kollinear vektorlar paralel düz xətlər üzərindədir; k-nın işarəsi istiqaməti, modulu uzunluq nisbətini verir.

Nümunə 4Nisbətləri yoxla

a(2; −4; 6) verilir. a) b(−3; 6; −9); b) c(1; −2; 4) vektoru a-ya kollineardırmı?

1. a) −3 : 2 = 6 : (−4) = −9 : 6 = −1,5. Üç nisbət eynidir, b = −1,5a: kollineardır, k < 0 olduğu üçün əks istiqamətlidir.
2. b) 1 : 2 = 0,5, −2 : (−4) = 0,5, amma 4 : 6 = 23 / . Bir nisbət fərqlidir — kollinear deyil. a) kollinear, əks istiqamətli; b) kollinear deyil

Komplanar vektorlar

Eyni müstəvi və ya paralel müstəvilər üzərində yerləşən vektorlara komplanar vektorlar deyilir. Məsələn, kubun qarşı üzlərində yerləşən bütün vektorlar komplanardır, kubun bir təpəsindən çıxan üç tili üzrə yönələn vektorlar isə komplanar deyil.

7 · Qayda

Vahid vektor və i, j, k

Vahid vektor

Uzunluğu vahidə bərabər olan vektora vahid vektor deyilir. İstənilən sıfır olmayan v üçün v|v| / vektoru vahid vektordur və v ilə eyniistiqamətlidir.

Ort vektorlar

Koordinat başlanğıcından çıxan, oxların müsbət istiqaməti üzrə yönələn vahid vektorlar: i(1; 0; 0), j(0; 1; 0), k(0; 0; 1). Onlar komplanar deyil.

Teorem. İstənilən a(a1; a2; a3) vektoru i, j, k üzrə yeganə ayrılışa malikdir:

a = a1i + a2j + a3k

Top vektoru r = 2i + 4j + 3k

Başla Yenidən Yenidən

Top vektoru: r = 2i + 4j + 3k. Komponentlər ort vektorların əmsallarıdır.

Nümunə 5Vahid vektor və verilmiş uzunluq

a(2; −1; −2) verilir. a istiqamətində vahid vektoru və a ilə eyniistiqamətli, uzunluğu 6 olan vektoru tapın.

1. |a| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
2. Hər komponenti 3-ə bölürük: e = (23 / ; −13 / ; −23 / ). Yoxlama: 49 / + 19 / + 49 / = 1, uzunluq 1-dir.
3. Uzunluğu 6 olan eyniistiqamətli vektor: 6e = (4; −2; −4) (bu, 2a-dır). e(2/3; −1/3; −2/3), 6e = (4; −2; −4)

Nümunə 6i, j, k ilə yaz və hesabla

a) P(−1; 5; 2) nöqtəsinin yer vektorunu ort vektorlarla yazın. b) a = 3i − j + 2k, b = −i + 2j + 4k olarsa, a + b və a − 2b vektorlarını tapın.

1. a) Komponentlər əmsallardır: OP = −i + 5j + 2k.
2. b) Komponentlərə keçirik: a(3; −1; 2), b(−1; 2; 4). Cəm: (2; 1; 6).
3. 2b = (−2; 4; 8), a − 2b = (3 + 2; −1 − 4; 2 − 8) = (5; −5; −6). a + b = 2i + j + 6k; a − 2b = 5i − 5j − 6k

8 · Diqqət

İki tipik səhv

Dilbər deyir: «(1; 1; 1) vahid vektordur, (1√3 / ; 1√3 / ; 1√3 / ) isə yox». Haqlıdırmı?

«Hamısı 1-dirsə, vahiddir»

|(1; 1; 1)| = 1

Uzunluq komponentlərə baxıb deyilmir: √(1 + 1 + 1) = √3 ≠ 1.

Uzunluğu hesabla

√(13 / + 13 / + 13 / ) = 1

Dilbər səhv edir: vahid olan ikinci vektordur — o, (1; 1; 1)-in öz uzunluğuna, √3-ə bölünməsidir.

Başlanğıcdan sonu çıxmaq

AB = A − B

A(5; 1; 0), B(2; 3; 4) üçün (3; −2; −4) alınır — bu, BA-dır.

Son − başlanğıc

AB = (−3; 2; 4)

B-nin koordinatlarından A-nınkılar çıxılır: (2 − 5; 3 − 1; 4 − 0).

9 · Həyatda

Qüvvələr və xəritə

Cismi tarazlıqda saxlayan qüvvə

Cismə iki qüvvə tətbiq olunub: F1(3; −2; 4) və F2(6; 2; 5). Hansı üçüncü qüvvə cismi tarazlıqda saxlayar? Cismi nöqtə kimi götürürük və başqa qüvvə olmadığını fərz edirik.

F1 + F2 = (9; 0; 9) F1 + F2 + F3 = 0 ⇒ F3 = (−9; 0; −9)

Tarazlıq üçün qüvvələrin cəmi sıfır vektor olmalıdır, ona görə F3 cəmin əks vektorudur. Onun modulu √(81 + 0 + 81) = 9√2 ≈ 12,7 qüvvə vahididir.

Üç qüvvənin tarazlığı

Qırmızı qüvvə qırıq xətlə göstərilən cəmin tam əksidir.

Transformator binaya nəzərən harada?

Hündürlükdə dayanan müşahidəçiyə görə transformator 4 km qərbdə, 3 km şimalda, yeni bina isə 2 km cənubda, 5 km şərqdədir. Müşahidəçi koordinat başlanğıcıdır, i — şərqə, j — şimala 1 km.

OT = −4i + 3j — qərb mənfi şərqdir.

OB = 5i − 2j — cənub mənfi şimaldır.

Son − başlanğıc: TB = OB − OT = (5 + 4)i + (−2 − 3)j = 9i − 5j.

Bina transformatordan 9 km şərqdə, 5 km cənubdadır; düz xətlə aralarındakı məsafə √(81 + 25) = √106 ≈ 10,3 km.

Müşahidəçi, transformator və bina xəritədə

OT + TB = OB — üçbucaq qaydası, buna görə TB = OB − OT.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan A(2; 0; −1), B(−1; 3; 4). AB vektorunun komponentləri hansıdır? Cavab variantları (3; −3; −5) (−3; 3; 5) (1; 3; 3) Düzdür! Son − başlanğıc. Yox. Komponent = sonun koordinatı − başlanğıcın koordinatı; toplamaq və ya tərsinə çıxmaq olmaz. Həllə bax (−1 − 2; 3 − 0; 4 − (−1)) = (−3; 3; 5). (3; −3; −5) BA-dır, (1; 3; 3) isə koordinatların cəmidir.
2. Asan v(4; −4; 2) vektorunun uzunluğu neçədir? Cavab variantları 2 36 6 Əla! √36 = 6. Yox. Komponentlərin kvadratlarını topla və kökünü al. Həllə bax √(16 + 16 + 4) = √36 = 6. 2 komponentlərin sadə cəmidir, 36 isə kökü alınmamış qiymətdir.
3. Orta u(1; −3; 2), w(2; 0; −1). 2u − w = ? Cavab variantları (0; −6; 5) (0; −6; 3) (4; −6; 3) Düzdür! Yox. Üçüncü komponentə bax: 4 − (−1) = 5; və w çıxılır, toplanmır. Həllə bax 2u = (2; −6; 4), (2 − 2; −6 − 0; 4 − (−1)) = (0; −6; 5). (0; −6; 3) mənfi ədədi çıxarkən işarə səhvidir, (4; −6; 3) isə 2u + w-dir.
4. Orta Hansı vektor a(3; −1; 2)-yə kollineardır? Cavab variantları (6; 2; 4) (−6; 2; −4) (4; 0; 3) Bəli: k = −2, əks istiqamətli. Yox. Üç nisbət eyni ədəd olmalıdır — işarələr də daxil. Həllə bax −6 : 3 = 2 : (−1) = −4 : 2 = −2. (6; 2; 4) üçün nisbətlər 2, −2, 2-dir; (4; 0; 3) hər komponentə 1 əlavə etməkdir, vurma deyil.
5. Çətin a(4; 4; −7) istiqamətində vahid vektor hansıdır? Cavab variantları (4/15; 4/15; −7/15) (4/9; 4/9; −7/9) (−4/9; −4/9; 7/9) Düzdür! |a| = 9. Yox. Vektor öz uzunluğuna bölünür, istiqamət isə dəyişmir. Həllə bax |a| = √(16 + 16 + 49) = √81 = 9, e = (4/9; 4/9; −7/9). 15 modulların cəmidir, uzunluq deyil; (−4/9; −4/9; 7/9) vahiddir, amma əks istiqamətlidir.
6. Çətin OA = 3i − j + 2k, OB = i + 2j − k. AB = ? Cavab variantları −2i + 3j − 3k 2i − 3j + 3k 4i + j + k Əla! AB = OB − OA. Yox. OA + AB = OB-dən başla. Həllə bax AB = OB − OA = (1 − 3)i + (2 + 1)j + (−1 − 2)k. İkinci variant OA − OB, üçüncüsü cəmdir.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Son − başlanğıcAB(x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1), uzunluğu — komponentlərin kvadratları cəminin kökü.
• Hər şey komponentlərləCəm, fərq, ədədə vurma komponent-komponent aparılır; b = ka — kollinearlıq.
• a = a1i + a2j + a3kAyrılış yeganədir; a-nı öz uzunluğuna bölsək, vahid vektor alırıq.

Növbəti mövzu: 6.11 İki vektorun skalyar hasili

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Fəzada vektorlar», səh. 42–48 (təriflər, teoremlər, top, qüvvə, Dilbər və transformator tapşırıqları). Nümunə və yoxlama suallarındakı ədədlər bu dərs üçün seçilib.