Əyrilərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsi

Mətn (transkript)

Bakıda, Heydər Əliyev Mərkəzinin qarşısında dayandığınızı təsəvvür edin. Ağ bina yerdən qalxır, dalğa kimi əyilir, sonra yenidən yerə enir. Diqqətlə baxsanız, bir şey sizi təəccübləndirəcək: bu binada demək olar ki, düz xətt yoxdur. Dərsliyimiz bu bina haqqında maraqlı rəqəmlər verir. Onun konstruksiyasında doxsan kilometr uzunluğunda polad işlənib. Üzərini isə on iki min iyirmi yeddi lövhə örtür: üçbucaqlar, düzbucaqlılar, trapesiyalar və paraleloqramlar. Bu lövhələrin ümumi sahəsi dörd hektardır. İndi bir sual verək. Bu dalğalı səthin bir parçasının sahəsini necə ölçərdiniz? Kənarları düz olsaydı, iş asan idi: uzunluğu enə vururduq. Amma kənarlardan biri, bəlkə də hər ikisi əyridir. Dərslik deyir ki, belə hissənin sahəsini hesablamaq üçün inteqrallama lazımdır. Bu gün öyrənəcəyik ki, iki əyri xəttin arasında qalan fiqurun sahəsi necə tapılır. Və görəcəyik ki, bütün iş bir sadə fikrə gəlib çıxır. Əvvəlcə köhnə bir fikirdən başlayaq. Əyri xətti düz parçalarla tutmaq fikri riyaziyyatda çox qədimdir. Dahi riyaziyyatçı və filosof Arximed dairənin sahəsini tapmaq istəyirdi. O, dairənin daxilinə və xaricinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlıların sahələrindən istifadə etdi. Daxildəki kvadrat dairədən xeyli kiçikdir. Səkkizbucaqlı artıq dairəyə daha yaxındır. On altı bucaqlı, otuz iki bucaqlı isə daha da yaxındır. Tərəflərin sayını artırdıqca fərq kiçilir, və çoxbucaqlının sahəsi dairənin sahəsinə sonsuz yaxınlaşır. Dərsliyimiz deyir ki, Arximedin bu yanaşması limit anlayışının əsasını təşkil edir. Biz də əyri xəttin altındakı sahə ilə eyni şeyi edirik. Fiquru nazik şaquli zolaqlara bölürük, sanki qayçı ilə kağızı ensiz lentlərə doğrayırıq. Hər zolaq demək olar ki, bir düzbucaqlıdır: eni çox kiçikdir, hündürlüyü isə qrafikin həmin yerdəki hündürlüyüdür. Bütün zolaqların sahələrini toplayırıq. Zolaqlar nə qədər nazik olsa, cəm əsl sahəyə o qədər yaxın olur. Zolaqları sonsuz incələtdikdə bu cəmin yaxınlaşdığı qiymət müəyyən inteqraldır. Bəs bu cəmi hər dəfə milyonlarla zolaqla hesablamalıyıq? Xoşbəxtlikdən, yox. Üç yüz ildən çox əvvəl yaşamış iki alim, İsaak Nyuton və Gottfrid Leybnis, ani dəyişmə sürətini hesablamağa ehtiyac duyurdular. Bu ehtiyac diferensial hesabın, yəni törəmə anlayışının yaranmasına gətirib çıxardı. Dərsliyimizdə onların adını daşıyan bir düstur var: Nyuton–Leybnis düsturu. O, sahəni törəmə ilə bağlayır. Zolaqları saymaq əvəzinə, törəməsi bizim funksiyamız olan bir funksiya tapırıq, yəni ibtidai funksiyanı. Sonra onun parçanın sonundakı və əvvəlindəki qiymətlərinin fərqini götürürük. Dərslik bunu inteqral hesabının əsas teoremi adlandırır. Siz bunu əvvəlki dərslərdə öyrənmisiniz. Bu gün onu iki əyriyə tətbiq edəcəyik. İndi əsas məsələyə keçək: iki əyri xəttin arasında qalan fiqur. Təsəvvür edin ki, eyni parçada iki qrafik var. Biri bütünlüklə yuxarıda gedir, digəri aşağıda. Aralarında uzun bir fiqur yaranır, bir az çay yatağına bənzəyir: yuxarı sahil və aşağı sahil. Bu fiqurun sahəsi nə qədərdir? Cavab çox təbiidir. Əvvəlcə yuxarı qrafikin altında qalan bütün sahəni götürün. Sonra ondan aşağı qrafikin altında qalan sahəni çıxın. Arada nə qalırsa, bizim fiqurumuzdur. Yəni axtarılan sahə yuxarıdakı sahə ilə aşağıdakı sahənin fərqidir. Bunu zolaqlarla da görmək olar. Fiquru yenə nazik şaquli zolaqlara bölün. İndi hər zolağın hündürlüyü yuxarı qrafikin hündürlüyündən aşağı qrafikin hündürlüyünü çıxanda alınan fərqdir. Bu fərqləri parça boyunca toplayırıq. Dərslik bu qaydanı belə ifadə edir: əgər parçada ef iks həmişə qe iksdən böyük və ya ona bərabərdirsə, sahə a-dan be-yə qədər ef iks ilə qe iksin fərqinin inteqralına bərabərdir. Qısaca desək: yuxarıdan aşağını çıx, zolaq-zolaq topla. Burada gözəl bir məqam var. Zolağın hündürlüyü yalnız iki qrafik arasındakı məsafədən asılıdır. Fiqur absis oxunun üstündə olsun, altında olsun, ya da oxu kəssin, bu məsafə dəyişmir. Yuxarıdakı əyri doğrudan da yuxarıdadırsa, hər zolağın hündürlüyü müsbətdir, və sahə də müsbət alınır. Unutmayın, sahə heç vaxt mənfi ola bilməz. Növbəti sual: zolaqları haradan başlayıb harada bitiririk? Yəni inteqralın sərhədləri haradan gəlir? Dərslik burada üç halı ayırır. Birinci halda qrafiklərin ortaq nöqtəsi yoxdur. Onlar heç vaxt görüşmür. Ona görə də fiquru soldan və sağdan iki şaquli xətt bağlayır, sanki iki divar. Bu sərhədlər məsələdə verilir: iks bərabərdir a, və iks bərabərdir be. İkinci halda qrafiklər iki nöqtədə kəsişir. Məsələn, yuxarıya açılan bir parabola və onu iki yerdən kəsən düz xətt. Parabolanı bir kasa kimi, düz xətti isə kasadakı suyun səthi kimi təsəvvür edin. Burada divar lazım deyil: fiqurun ucları elə kəsişmə nöqtələridir. Onları tapmaq üçün iki funksiyanı bir-birinə bərabər edirik. Bu tənliyin kökləri inteqralın sərhədləri olur. Üçüncü hal ən çox diqqət tələb edəndir: qrafiklər ikidən çox nöqtədə kəsişir. Onda yuxarıdakı və aşağıdakı rollarını dəyişirlər. Bir hissədə birinci qrafik yuxarıdadır, növbəti hissədə isə ikinci. Nə etməli? Fiquru kəsişmə nöqtələrində hissələrə bölürük. Hər hissədə yenə yuxarıdan aşağını çıxırıq, və sonda bütün hissələrin sahələrini toplayırıq. Bölməsək nə olar? Onda bir hissədə fərq müsbət, digərində mənfi çıxar, və onlar bir-birini qismən silər. Nəticə fiqurun əsl sahəsindən kiçik alınar. Ona görə də hər kəsişmə nöqtəsində dayanın və özünüzdən soruşun: indi yuxarıda hansı qrafikdir? İndi isə görək ki, iki əyri arasındakı sahə niyə yalnız həndəsə məsələsi deyil. Dərslikdə belə bir hekayə var. Məktəbin gənc konstruktorlar klubunun üzvləri avtomobil mühərrikini təkmilləşdirirlər. Onlar düşünürlər ki, yeni mühərrik atmosferə daha az çirkli zərrəcik buraxacaq. Hər iki mühərrikin tullantısını zamanla dəyişən bir əyri ilə təsvir edirlər. Əvvəlcə köhnə mühərrikin əyrisi yuxarıdadır. Yeni mühərrikinki aşağıdan başlayır, amma daha sürətlə artır. İstifadənin üçüncü ilində iki əyri görüşür: o vaxt hər iki mühərrik eyni qədər tullantı verir. Bəs bu müddətdə iki mühərrikin ümumi tullantısı arasındakı fərq nə qədərdir? Cavab iki əyrinin arasındakı sahədir. Hər nazik zolaq qısa bir zaman kəsiyində iki mühərrikin fərqidir, zolaqların cəmi isə bütün dövr üçün ümumi fərq. Dərslik bu sahəni hesablayır və on səkkiz milyard zərrəcik alır. Eyni fikir hərəkətdə də işləyir. Bir nöqtədən yola çıxan iki cismin sürət qrafiklərini təsəvvür edin. Bu qrafiklərin arasındakı sahə iki cismin arasındakı məsafəni göstərir. Yəni iki əyri arasındakı sahə, iki dəyişmə sürəti arasındakı ümumi fərqdir. Gəlin Heydər Əliyev Mərkəzinin qarşısına qayıdaq. Riyaziyyatın dili ilə desək, dalğalı səthin hər parçası iki əyri arasında qalan bir fiqurdur. Onun sahəsini tapmaq üçün parçanı nazik zolaqlara bölürük, hər zolaqda yuxarı kənardan aşağı kənarı çıxırıq, və bunları toplayırıq. Arximedin çoxbucaqlılarından gələn fikir belə dalğalı formaları ölçməyin əsasındadır. Yadda saxlamalı olduğunuz bir fikir var: iki əyri arasındakı sahə, yuxarı əyridən aşağı əyrini çıxıb nazik zolaqlar boyunca toplamaqdır. Sərhədləri ya verilmiş xətlər, ya da kəsişmə nöqtələri göstərir. Əyrilər yer dəyişəndə isə fiquru hissələrə bölün. Addım-addım hesablamaları oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. İndi isə hər dəfə qrafikə baxanda özünüzdən soruşun: yuxarıda hansıdır, aşağıda hansıdır?