Absis oxunun hər iki tərəfində yerləşən fiqur

1 · Əsas fikir

Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik

Əsas fikir

Qrafik absis oxundan aşağıdadırsa, müəyyən inteqral mənfi alınır, sahənin ədədi qiyməti isə mənfi ola bilməz. Ona görə qrafik oxu kəsəndə parçanı sıfırlarda hissələrə bölür, oxdan aşağıdakı hissənin inteqralının modulunu götürürük:

S = S₁ + S₂ = ∫ba f(x) dx + |∫cb f(x) dx|

Bu, «yuxarı − aşağı» qaydasının y = 0 xətti üçün halıdır: oxdan aşağıda yuxarı sərhəd y = 0, aşağı sərhəd y = f(x)-dir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqAbsis oxunun hər iki tərəfində yerləşən fiqur

Şəkildə y = x³ − 4x funksiyasının qrafiki və absis oxu ilə hüdudlanmış fiqur (iki hissədən ibarət) rənglənib. Bu fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

1. Qrafikin absis oxu ilə kəsişməsi: x³ − 4x = 0, x(x² − 4) = 0, x = −2, x = 0, x = 2.
2. İşarələr: x = −1-də f = 3 > 0 (hissə oxdan yuxarıda), x = 1-də f = −3 < 0 (hissə oxdan aşağıda).
3. S₁ = ∫0−2 (x³ − 4x) dx = (x⁴/4 − 2x²)|0−2 = 0 − (4 − 8) = 4.
4. ∫20 (x³ − 4x) dx = (4 − 8) − 0 = −4, deməli S₂ = |−4| = 4.
5. S = S₁ + S₂ = 4 + 4 = 8.
6. Cavab: S = 8 kv. vahid

y = x³ − 4x qrafiki və absis oxu ilə hüdudlanmış iki hissəli fiqur

Sol hissə oxdan yuxarıda (inteqral +4), sağ hissə oxdan aşağıda (inteqral −4); sahələr toplanır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

f(−x) = −f(x) olduğundan qrafik koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir: iki hissə eyni ölçüdədir, hər biri 4. Bütün parçada işarəli inteqral 0 alınması da bu simmetriyanı təsdiqləyir, amma sahə 8-dir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 0Bu, işarəli inteqraldır: ∫[−2; 2] (x³ − 4x) dx = 4 + (−4) = 0. Oxdan aşağıdakı hissənin inteqralı mənfidir, sahə isə mənfi ola bilməz.
• 4Bu, yalnız bir hissənin sahəsidir. Fiqur iki hissədən ibarətdir və ikisi də sayılmalıdır.
• 124x-in ibtidaisi 2x² əvəzinə 4x² yazılıb və yalnız bir hissə götürülüb: 0 − (4 − 16) = 12.
• 24Eyni ibtidai səhvi (2x² əvəzinə 4x²) hər iki hissədə edilib: 12 + 12.