Əyrilərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsi

• 6.58
• 11-ci sinif
• İnteqral

Əyrilərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsi

Bakıdakı Heydər Əliyev Mərkəzinin dalğavari binasında demək olar ki, düz xətt yoxdur. Yuxarısı da, aşağısı da əyri olan hissənin sahəsini necə tapaq? Yuxarı qrafikdən aşağı qrafiki çıx və fərqi inteqralla topla.

Bu dərsdə

• iki qrafik arasındakı fiqurun sahəsini «yuxarı − aşağı» fərqinin inteqralı kimi yazacaqsan;
• inteqralın sərhədlərini verilmiş düz xətlərdən və ya qrafiklərin kəsişmə nöqtələrindən tapacaqsan;
• qrafiklər yer dəyişəndə fiquru hissələrə bölüb sahələri toplayacaqsan.

Iki əyri arasındakı fiqur nazik şaquli zolaqlardan yığılır

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Zolaqlar
3. Qayda
4. Hesabla
5. Yer dəyişən qrafiklər
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Böyük sahədən kiçiyini çıxaq

Müəyyən inteqral qrafikin, Ox oxunun və x = a, x = b düz xətlərinin hüdudladığı sahəni verir. İndi isə fiqurun yuxarısında bir əyri — f(x), aşağısında başqa əyri — g(x) var. Hər iki qrafikin altındakı sahəni ayrıca tapmağı bacarırıq. Deməli, aradakı fiqur onların fərqidir.

Hansı sahəyə baxaq?

S₂: f(x)-in altı S₁: g(x)-in altı S: arada qalan

Sahələrin fərqi: S bərabərdir S₂ − S₁

S₂ — f(x)-in qrafiki, Ox oxu və x = a, x = b ilə hüdudlanan bütün sahə: S₂ = inteqral, sərhədlər a və b: f(x) dx.

S₁ — g(x)-in altındakı sahə: S₁ = inteqral, sərhədlər a və b: g(x) dx. Bu hissə S₂-nin içindədir.

S — iki qrafik arasındakı yaşıl fiqur. S₂-dən S₁-i çıxanda məhz o qalır: S = S₂ − S₁.

Seçimi dəyiş: S₂ bütün mavi hissədir, S₁ narıncı hissədir, onların fərqi yaşıl fiqurdur.

S = S₂ − S₁ = inteqral, sərhədlər a və b: f(x) dx − inteqral, sərhədlər a və b: g(x) dx = inteqral, sərhədlər a və b: [f(x) − g(x)] dx

Son addım inteqralın xassəsidir: fərqin inteqralı inteqralların fərqinə bərabərdir. Beləliklə, iki inteqral əvəzinə bir inteqral hesablayırıq.

2 · Zolaqlar

Zolağın hündürlüyü: yuxarı − aşağı

Fiquru nazik şaquli zolaqlara bölək. x nöqtəsindəki zolaq demək olar ki, düzbucaqlıdır: eni Δx, yuxarı ucu f(x) hündürlüyündə, aşağı ucu g(x) hündürlüyündədir.

Zolağın hündürlüyü f(x) − g(x), sahəsi təxminən (f(x) − g(x))·Δx-dir. Bütün zolaqları toplayıb Δx-i sıfıra yaxınlaşdıranda cəm inteqrala çevrilir:

S ≈ Σ (f(xᵢ) − g(xᵢ))·Δx → inteqral, sərhədlər a və b: (f(x) − g(x)) dx

Diqqət et: zolağın hündürlüyü g(x) mənfi olanda da dəyişmir. Məsələn, f(x) = 3 və g(x) = −1 olarsa, zolaq 3 − (−1) = 4 vahid hündürlükdədir. Ona görə düstura yalnız bir şərt lazımdır: f(x) ≥ g(x).

Nazik zolaq: hündürlüyü yuxarı qrafikdən aşağı qrafiki çıxmaqla tapılır

Başla Yenidən Yenidən

Hər zolaq Ox oxundan deyil, aşağı qrafikdən başlayır: hündürlük = f(x) − g(x).

Bu ideya çox qədimdir. Arximed dairənin sahəsini onun daxilinə və xaricinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlılarla tapırdı: tərəflərin sayı artdıqca çoxbucaqlının sahəsi dairənin sahəsinə daha da yaxınlaşır. Dərslik bunu limit anlayışının əsası adlandırır. Zolaqlar da belədir: nə qədər nazik olsalar, onların cəmi sahəyə bir o qədər yaxın olur.

Hesablamanı isə Nyuton–Leybnis düsturu ilə aparırıq: inteqral, sərhədlər a və b: f(x) dx = F(b) − F(a), burada F — f-in ibtidai funksiyasıdır. Düstur diferensial hesabı formalaşdıran İsaak Nyutonun (1642–1727) və Gottfrid Leybnisin (1646–1716) adını daşıyır.

3 · Qayda

İki qrafik arasındakı sahə

Yadda saxla

[a; b] parçasında kəsilməz f və g funksiyaları üçün bu parçada f(x) ≥ g(x) şərti ödənərsə (yəni f(x)-in qrafiki bütünlüklə g(x)-in qrafikindən yuxarıda yerləşərsə), bu qrafiklər və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi:

S = inteqral, sərhədlər a və b: [f(x) − g(x)] dx

f — yuxarıdakı qrafik, g — aşağıdakı qrafik, a və b — inteqralın sərhədləri. Sahə kvadrat vahidlə (kv. vahid) ölçülür.

Sərhədlər haradan gəlir?

Verilmiş düz xətlər

Sərhədlər verilmiş x = a və x = b düz xətləridir

Qrafiklərin ortaq nöqtəsi yoxdur: fiquru x = a və x = b düz xətləri bağlayır.

Kəsişmə nöqtələri

Sərhədlər qrafiklərin kəsişmə nöqtələridir

Qrafiklər kəsişir: f(x) = g(x) tənliyinin kökləri a və b sərhədləri verir.

Sahəni hesablamaq üçün dörd addım kifayətdir:

1. Sərhədləri tap: verilmiş x = a, x = b və ya f(x) = g(x) tənliyinin kökləri.
2. Hər parçadan bir nöqtə götür və hansı qrafikin yuxarıda olduğunu yoxla.
3. Hər parçada inteqralı «yuxarı − aşağı» fərqi ilə yaz.
4. Nyuton–Leybnis düsturu ilə hesabla və hissələri topla.

Ox oxu da qrafikdir

Ox oxu y = 0 düz xəttidir. Qrafik Ox-dan aşağıdadırsa, inteqral mənfi çıxır, sahə isə mənfi ola bilməz: S = |inteqral, sərhədlər a və b: f(x) dx|. Məsələn, y = cos x üçün [0; 3π/2] parçasında S = 1 + 2 = 3.

Sahə həmişə müsbətdir

«Yuxarı − aşağı» fərqi hər nöqtədə ≥ 0 olduğu üçün cavab müsbət alınmalıdır. Mənfi cavab yuxarı ilə aşağının qarışdığını göstərir.

4 · Hesabla

Ortaq nöqtə yoxdur, iki kəsişmə var

Nümunə 1Ortaq nöqtə yoxdur

f(x) = x² + 2, g(x) = −x funksiyalarının qrafikləri və x = 0, x = 1 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın.

1. [0; 1] parçasında x² + 2 ≥ 2, −x ≤ 0, deməli f yuxarıdadır. Qrafiklərin ortaq nöqtəsi yoxdur, sərhədlər x = 0 və x = 1-dir.
2. Zolağın hündürlüyü: x² + 2 − (−x) = x² + x + 2.
3. S = inteqral, sərhədlər 0 və 1: (x² + x + 2) dx = (x³3 / + x²2 / + 2x) (sərhədlər 0 və 1) = 13 / + 12 / + 2 = 176 / S = 17/6 = 2⅚ kv. vahid

Nümunə 1: y = x² + 2 və y = −x qrafikləri arasında, x = 0 və x = 1 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur

Fiqurun bir hissəsi Ox oxundan aşağıdadır, amma zolağın hündürlüyü yenə də x² + 2 − (−x)-dir.

Nümunə 2Qrafiklər iki nöqtədə kəsişir

y = 2x − 1 və y = x² − 4 funksiyalarının qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın.

1. Kəsişmə nöqtələri: 2x − 1 = x² − 4, yəni x² − 2x − 3 = 0, buradan x = −1 və x = 3. x-in bu qiymətləri inteqralın sərhədləridir.
2. Hansı yuxarıdadır? x = 0 götürək: 2 · 0 − 1 = −1, 0² − 4 = −4. −1 > −4, deməli düz xətt yuxarıdadır.
3. Hündürlük: (2x − 1) − (x² − 4) = −x² + 2x + 3.
4. S = inteqral, sərhədlər −1 və 3: (−x² + 2x + 3) dx = (−x³3 / + x² + 3x) (sərhədlər −1 və 3) = 9 − (−53 / ) = 323 / S = 32/3 = 10⅔ kv. vahid

Nümunə 2: y = 2x − 1 düz xətti və y = x² − 4 parabolası arasındakı fiqur

Kəsişmə nöqtələrinin absisləri −1 və 3 sərhədlərdir; ordinatlar (−3 və 5) sərhəd deyil.

5 · Yer dəyişən qrafiklər

İkidən çox kəsişmə nöqtəsi

Qrafiklər bir neçə dəfə kəsişəndə hər kəsişmədə yuxarı və aşağı yer dəyişə bilər. Onda fiquru kəsişmə nöqtələrində hissələrə bölürük və hər hissədə yuxarıdan aşağını çıxırıq.

Nümunə 3Üç kəsişmə nöqtəsi

f(x) = 3x³ − x² − 10x və g(x) = −x² + 2x qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın.

1. f(x) = g(x): 3x³ − 12x = 0, 3x(x² − 4) = 0, buradan x = −2; 0; 2.
2. x = −1-də f − g = −3 + 12 = 9 > 0: [−2; 0]-da f yuxarıdadır. x = 1-də f − g = 3 − 12 = −9 < 0: [0; 2]-də g yuxarıdadır.
3. inteqral, sərhədlər −2 və 0: (3x³ − 12x) dx = (3x⁴4 / − 6x²) (sərhədlər −2 və 0) = 0 − (12 − 24) = 12
4. inteqral, sərhədlər 0 və 2: (−3x³ + 12x) dx = (−3x⁴4 / + 6x²) (sərhədlər 0 və 2) = −12 + 24 = 12 S = 12 + 12 = 24 kv. vahid

Nümunə 3: qrafiklər üç nöqtədə kəsişir və yer dəyişir

Başla Yenidən Yenidən

Mavi hissədə f, narıncı hissədə g yuxarıdadır. Qrafik dəqiq miqyasda, düsturlara görə çəkilib.

6 · Diqqət

Hissələr bir-birini yox etməsin

Səhv: bütün parça üzrə bir inteqral

inteqral, sərhədlər −2 və 2: (f(x) − g(x)) dx = 12 + (−12) = 0

[0; 2]-də f − g mənfidir, ona görə bu hissənin inteqralı −12 çıxır və müsbət hissəni silir. Fiqur görünür, sahəsi 0 ola bilməz.

Düzgün: kəsişmələrdə böl

S = 12 + 12 = 24, və ya S = inteqral, sərhədlər −2 və 2: |f(x) − g(x)| dx

Hər hissədə yuxarıdan aşağını çıxanda bütün hissələr müsbət olur və toplanır.

f(x) − g(x) = 3x³ − 12x funksiyasının qrafiki: müsbət və mənfi hissələr

f − g fərqinin qrafiki: Ox oxundan yuxarıdakı hissənin inteqralı +12, aşağıdakının −12-dir. Sahə üçün ikisi də +12 sayılır.

Eyni səbəbdən yuxarı ilə aşağını qarışdırmaq da mənfi cavab verir: Nümunə 2-də inteqral, sərhədlər −1 və 3: ((x² − 4) − (2x − 1)) dx = −323 / . Mənfi «sahə» qrafikləri yenidən yoxlamaq üçün siqnaldır.

7 · Həyatda

Yeni mühərrik nə qədər az çirkləndirir?

Məktəbin gənc konstruktorlar klubu daha az tullantı buraxan yeni avtomobil mühərriki düzəltdiyini düşünür. Yeni mühərrikin t-ci ildə atmosferə buraxdığı çirkli zərrəciklərin sayı (milyardlarla) E(t) = 2t², köhnə mühərrikinki C(t) = 9 + t² kimi ifadə olunur.

Nümunə 4İki sürətin fərqi

a) Neçənci ildə mühərriklər eyni miqdarda zərrəcik atacaq? b) Bu müddətdə onların ümumi tullantıları nə qədər fərqlənəcək?

1. 2t² = 9 + t², t² = 9, t = 3 (t = −3 məsələnin mənasına uyğun deyil). İstifadənin 3-cü ilində yeni mühərrik də köhnə qədər tullantı verəcək.
2. [0; 3]-də C(t) ≥ E(t). Hər il üçün C(t) − E(t) — yeni mühərrikin o il nə qədər az tullantı verdiyidir; zolaqları toplamaq bu illik fərqləri toplamaq deməkdir.
3. inteqral, sərhədlər 0 və 3: ((9 + t²) − 2t²) dt = (9t − t³3 / ) (sərhədlər 0 və 3) = 27 − 9 = 18 fərq 18 milyard zərrəcik

Bu, dərslikdəki sadələşdirilmiş modeldir: tullantıların sayı t-nin kəsilməz funksiyası kimi götürülür. Dərslikdə inteqral dx ilə yazılıb; dəyişən t olduğu üçün burada dt yazırıq.

Köhnə və yeni mühərrikin tullantıları: iki qrafik arasındakı sahə

İki qrafik arasındakı sahə iki kəmiyyətin ümumi fərqidir: burada 18 milyard zərrəcik.

Eyni fikir başqa yerlərdə də işləyir: eyni nöqtədən çıxan iki cismin sürət qrafikləri arasındakı sahə onların arasındakı məsafəni, gəlir və xərc qrafikləri arasındakı sahə isə ümumi mənfəəti və ya zərəri göstərir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan y = x + 3 və y = 1 qrafikləri, x = 0 və x = 2 düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi neçədir? Cavab variantları 6 8 −6 Düzdür! Zolağın hündürlüyü (x + 3) − 1 = x + 2. Yox. Aşağı qrafiki (y = 1) çıxmağı unutma, sahə isə mənfi ola bilməz. Həllə bax S = inteqral, sərhədlər 0 və 2: (x + 2) dx = (x²2 / + 2x) (sərhədlər 0 və 2) = 2 + 4 = 6.
2. Asan y = x² və y = 2x qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapanda inteqralın sərhədləri hansılardır? Cavab variantları 0 və 4 0 və 2 −2 və 2 Düzdür! x² = 2x tənliyinin kökləri 0 və 2-dir. Yox. x² = 2x tənliyini həll et; sərhədlər nöqtələrin absisləridir, ordinatları deyil. Həllə bax x² − 2x = 0, x(x − 2) = 0, x = 0 və x = 2. Kəsişmə nöqtələri (0; 0) və (2; 4)-dür; 4 — ordinatdır, sərhəd deyil.
3. Orta y = x və y = x² qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi neçədir? Cavab variantları 12 / −16 / 16 / Əla! [0; 1]-də x ≥ x², S = 1/2 − 1/3 = 1/6. Yox. 1/2 yalnız y = x-in altındakı sahədir; mənfi cavab isə yuxarı ilə aşağının qarışdığını göstərir. Həllə bax x = x²: x = 0 və x = 1. x = 0,5-də 0,5 > 0,25, deməli y = x yuxarıdadır. S = inteqral, sərhədlər 0 və 1: (x − x²) dx = 12 / − 13 / = 16 / .
4. Orta y = x² parabolası və y = 4 düz xətti ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi neçədir? Cavab variantları 163 / 323 / 16 Düzdür! 16 − 16/3 = 32/3. Yox. 16 — 4 × 4 düzbucaqlıdır, 16/3 — parabolanın altındakı sahədir. Fiqur onların fərqidir. Həllə bax x² = 4: x = −2 və x = 2; y = 4 yuxarıdadır. S = inteqral, sərhədlər −2 və 2: (4 − x²) dx = (4x − x³3 / ) (sərhədlər −2 və 2) = 163 / − (−163 / ) = 323 / .
5. Çətin y = x³ və y = x qrafikləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi neçədir? Cavab variantları 0 14 / 12 / Əla! İki hissə, hər biri 1/4. Yox. Qrafiklər −1, 0 və 1-də kəsişir: hissələri ayrıca hesabla və hamısını topla. Həllə bax x³ = x: x = −1; 0; 1. [−1; 0]-da x³ yuxarıdadır, [0; 1]-də x. S = inteqral, sərhədlər −1 və 0: (x³ − x) dx + inteqral, sərhədlər 0 və 1: (x − x³) dx = 14 / + 14 / = 12 / . Bir inteqral ilə inteqral, sərhədlər −1 və 1: (x³ − x) dx = 0 alınardı.
6. Çətin y = x², y = 0 və x = a (a > 0) xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi 9-dur. a neçədir? Cavab variantları 3 ∛9 9 Düzdür! a³/3 = 9, a³ = 27, a = 3. Yox. Sahəni a ilə yaz: x²-in ibtidai funksiyası x³/3-dür, 1/3 vuruğunu unutma. Həllə bax S = inteqral, sərhədlər 0 və a: x² dx = a³3 / = 9, buradan a³ = 27 və a = 3.

Xülasə

Yadda qalanlar

• S = inteqral, sərhədlər a və b: (f − g) dxYuxarı qrafikdən aşağı qrafiki çıx: zolağın hündürlüyü f(x) − g(x)-dir.
• f(x) = g(x)Sərhədlər ya verilmiş x = a, x = b düz xətləri, ya da qrafiklərin kəsişmə nöqtələridir.
• 12 + 12, 12 − 12 yoxQrafiklər yer dəyişirsə, kəsişmələrdə böl və hər hissənin sahəsini topla.

Növbəti mövzu: 6.59 Müəyyən inteqral və fırlanmadan alınan fiqurların həcmi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Əyrilərlə hüdudlanmış fiqurun sahəsi», səh. 250–252 (qayda, Nümunə 1–4); səh. 221 (Heydər Əliyev Mərkəzi), 246–247 (Ox oxundan aşağıdakı sahə, y = cos x), 240 (Nyuton–Leybnis düsturu), 140 (Nyuton və Leybnis), 70 (Arximed). Giriş qrafikləri və «Özünü yoxla» tapşırıqları bu dərs üçün tərtib olunub.