İki parabola arasındakı fiqur

1 · Əsas fikir

Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik

Əsas fikir

Fiqurun qrafiklərin hansı hissəsində — absis oxundan yuxarıda və ya aşağıda — yerləşməsi önəmli deyil: sahə həmişə «yuxarı qrafik − aşağı qrafik» fərqinin inteqralıdır.

S = ∫ba [f(x) − g(x)] dx

Sərhədlər parabolaların kəsişmə nöqtələrinin absisləridir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki parabola arasındakı fiqur

y = −x² + 2x + 3 və y = x² − 4x + 3 parabolaları ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).

1. Kəsişmə: −x² + 2x + 3 = x² − 4x + 3, yəni 2x² − 6x = 0, 2x(x − 3) = 0, x = 0 və x = 3.
2. Yuxarı qrafik: x = 1-də birinci parabola 4, ikinci 0 qiymətini alır. [0; 3] parçasında y = −x² + 2x + 3 yuxarıdadır.
3. Fərq: (−x² + 2x + 3) − (x² − 4x + 3) = −2x² + 6x.
4. S = ∫30 (−2x² + 6x) dx = (−2x³/3 + 3x²)|30 = −18 + 27 = 9.
5. Cavab: S = 9 kv. vahid

y = −x² + 2x + 3 və y = x² − 4x + 3 parabolaları arasındakı fiqur

Parabolalar (0; 3) və (3; 0) nöqtələrində kəsişir; aşağı parabolanın bir hissəsi absis oxundan aşağıdadır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Ayrı-ayrı: ∫30 (−x² + 2x + 3) dx = −9 + 9 + 9 = 9 və ∫30 (x² − 4x + 3) dx = 9 − 18 + 9 = 0. Fərq 9 − 0 = 9. Aşağı parabolanın inteqralının 0 olması onun absis oxundan yuxarı və aşağı hissələrinin bərabər olmasıdır; S = ∫f − ∫g düsturu buna baxmayaraq doğrudur.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 366x-in ibtidaisi 3x² əvəzinə 6x² yazılıb: −18 + 54. Qüvvət funksiyasında xⁿ⁺¹ dərəcə göstəricisinə də bölünür.
• 18Bu, ibtidai funksiyanın yalnız −2x³/3 həddinin modulu (18)dir; 3x² həddi unudulub.
• 27Bu, yalnız 3x² həddinin x = 3-dəki qiymətidir; −2x³/3 həddi çıxılmayıb.
• 4,5Kəsişmə tənliyini 2-yə böləndə fərq də 2-yə bölünüb: ∫(3x − x²)dx. Tənliyi bölmək olar, amma inteqrallanan fərqi dəyişmək olmaz.