İki avtomobil: sürət qrafikləri arasındakı sahə

1 · Əsas fikir

Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik

Əsas fikir

Sürət funksiyasının müəyyən inteqralı gedilən yoldur: s = ∫ v(t) dt. İki cisim eyni nöqtədən eyni istiqamətdə başlayırsa, aralarındakı məsafə yolların fərqidir, yəni iki sürət qrafiki arasındakı sahədir:

d = ∫T0 [v₁(t) − v₂(t)] dt

v₁ > v₂ olduqca məsafə artır; sürətlər bərabərləşəndə artım dayanır.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki avtomobil: sürət qrafikləri arasındakı sahə

İki avtomobil eyni anda eyni nöqtədən eyni istiqamətdə düzxətli hərəkətə başlayır. Birinci avtomobilin sürəti v₁(t) = 3t, ikincininki v₂(t) = 0,25t² (m/san; t — hərəkətin başlanğıcından keçən vaxt, saniyə ilə). Sürətləri bərabər olduğu anda birinci avtomobil ikincidən neçə metr qabaqdadır?

1. Sürətlərin bərabərliyi: 3t = 0,25t², t(0,25t − 3) = 0, t = 0 (başlanğıc) və t = 12 san.
2. (0; 12) aralığında v₁ > v₂ (məsələn, t = 4-də 12 > 4): birinci avtomobil qabağa çıxır və fərq artır.
3. d = ∫120 (3t − 0,25t²) dt = (1,5t² − t³/12)|120 = 1,5 · 144 − 1728/12.
4. 216 − 144 = 72.
5. Cavab: Birinci avtomobil 72 m qabaqdadır

İki avtomobilin sürət qrafikləri və aralarındakı sahə

Sürət qrafikləri arasındakı rənglənmiş sahə t = 12 anına qədər avtomobillər arasında yaranan məsafədir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Yolları ayrıca hesablayaq: s₁ = ∫120 3t dt = 216 m, s₂ = ∫120 0,25t² dt = 144 m; fərq 72 m. Ölçü vahidi: (m/san) · san = m. t = 12-də sürətlər 36 m/san-dır, bu da məqbul qiymətdir.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 216 mBu, birinci avtomobilin 12 saniyədə getdiyi yoldur (∫3t dt). İkinci avtomobilin yolu çıxılmayıb.
• 144 mBu, ikinci avtomobilin 12 saniyədə getdiyi yoldur — məsafə yox, onlardan birinin yolu.
• 360 mYollar çıxılmaq əvəzinə toplanıb: 216 + 144. Avtomobillər eyni istiqamətdə gedir, aralarındakı məsafə yolların fərqidir.
• 36 mBu, t = 12 anındakı sürətdir (3 · 12 = 36 m/san), məsafə deyil. Sürətlərin bərabər olduğu an tapılıb, amma inteqral hesablanmayıb.