Mətn
Şəkildə y = 2/x, y = 2 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış fiqur rənglənib. Fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Sahə = yuxarı qrafik − aşağı qrafik
Əsas fikir
Fiqurun sahəsi yuxarı və aşağı sərhəd qrafiklərinin fərqinin inteqralıdır. [a; b] parçasında kəsilməz f və g funksiyaları üçün f(x) ≥ g(x) olarsa, yəni f-in qrafiki g-nin qrafikindən yuxarıdadırsa, qrafiklər və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsi:
S = ∫ba [f(x) − g(x)] dx
Sərhədlərdən biri verilməyibsə, onu qrafiklərin kəsişmə nöqtəsinin absisi göstərir. Burada lazım olan ibtidai funksiya: ∫(1/x)dx = ln x + C (x > 0).
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqHiperbola, üfüqi və şaquli düz xətt
Şəkildə y = 2/x, y = 2 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış fiqur rənglənib. Fiqurun sahəsini tapın (kv. vahid).
- Sol sərhəd: hiperbola y = 2 xəttini 2/x = 2, yəni x = 1 nöqtəsində kəsir. Sağ sərhəd verilib: x = 3.
- [1; 3] parçasında 2 ≥ 2/x (məsələn, x = 2-də 2 > 1). Deməli, yuxarı sərhəd y = 2, aşağı sərhəd y = 2/x-dir.
- S = ∫31 (2 − 2/x) dx = (2x − 2ln x)|31 = (6 − 2ln3) − (2 − 2ln1).
- ln1 = 0 olduğundan S = 6 − 2ln3 − 2 = 4 − 2ln3 ≈ 1,80.
- Cavab: S = 4 − 2ln3 ≈ 1,80 kv. vahid
y = 2/x, y = 2 və x = 3 xətləri ilə hüdudlanmış rənglənmiş fiqur
Fiqur [1; 3] parçasında y = 2 ilə y = 2/x arasındadır; sol ucu qrafiklərin kəsişmə nöqtəsidir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Eyni sahə həndəsi yolla: y = 2 altında [1; 3] parçasındakı düzbucaqlının sahəsi 2 · 2 = 4, ondan hiperbolanın altındakı ∫31 (2/x) dx = 2ln3 ≈ 2,20 sahəsini çıxırıq: 4 − 2,20 ≈ 1,80. Nəticə müsbətdir və 4-dən kiçikdir.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- 2ln3Bu, hiperbolanın [1; 3] parçasında altında qalan sahədir (fiqurun altındakı hissə). Fiqur ondan yuxarıda, y = 2 xəttinə qədərdir.
- 4 + 2ln3Fərq əvəzinə cəm götürülüb: düzbucaqlının sahəsinə hiperbolanın altındakı sahə əlavə olunub.
- 6 − 2ln3Sol sərhəd kimi x = 0 götürülüb: 2 · 3 − 2ln3. Hiperbola x = 0-da təyin olunmayıb; fiqur hiperbolanın y = 2 ilə kəsişdiyi x = 1 nöqtəsindən başlayır.
- 2 − ln3Hər iki funksiyanın 2 vuruğu atılıb: ∫(1 − 1/x)dx. Sabit vuruq inteqraldan kənara çıxarılır, amma itmir.
