Kompleks ədədlər haqqında

Mətn (transkript)

Gəlin kiçik bir tapmaca ilə başlayaq. Bir ədəd var, adı cəmi bir hərfdir: i. İndi əlli səkkiz dənə i götürüb hamısını bir-birinə vurun. Başqa sözlə, i-ni əlli səkkizinci qüvvətə yüksəldin. Nə alınacaq? Yəqin ki, uzun və qorxulu bir ifadə gözləyirsiniz. Əslində cavab çox sadədir, o qədər sadə ki, inanmaq çətindir. Bu dərsin sonunda onu bir neçə saniyəyə özünüz tapacaqsınız. Amma əvvəlcə bu qəribə i ədədinin haradan gəldiyini öyrənməliyik. Bu, kompleks ədədlər haqqında dinləmə dərsidir. Hər şey tanış bir yerdən, kvadrat tənlikdən başlayır. Diskriminant mənfi olanda tənliyin həqiqi ədədlər arasında kökü olmur. Səbəb sadədir: heç bir həqiqi ədədin kvadratı mənfi ola bilməz. Dərslik buradan belə nəticə çıxarır: istənilən kvadrat tənliyin köklərini özündə saxlayan yeni, daha geniş bir ədədlər çoxluğu lazımdır. Bunun üçün bir razılaşma edilir. Elə bir i ədədi qəbul olunur ki, onun kvadratı mənfi birə bərabərdir. Yəni i kvadrat bərabərdir mənfi bir. Bu i-yə xəyali vahid deyilir. Sonra ədədlər çoxluğu elə genişləndirilir ki, ora bütün həqiqi ədədlər də, xəyali vahid də daxil olsun, həm də toplama və vurmanın bildiyimiz xassələri saxlanılsın. Yeni çoxluğun hər üzvü belə yazılır: a üstəgəl b i. Burada a və b adi həqiqi ədədlərdir. Belə ifadəyə kompleks ədəd deyilir. Kompleks ədədi çox vaxt z hərfi ilə işarə edirlər. Kompleks ədədi iki gözlü qələmqabı kimi təsəvvür edin. Birinci gözdə a durur, ona z ədədinin həqiqi hissəsi deyilir. İkinci gözdə b durur, ona xəyali hissə deyilir. Diqqət edin: xəyali hissə b ədədinin özüdür, b ilə i-nin hasili deyil. Gözlər bir-birinə qarışmır: həqiqi hissə öz gözündə, xəyali hissə öz gözündə qalır. Bəzən gözlərdən biri boş olur. Həqiqi hissə sıfırdırsa, yalnız b i qalır. Belə ədədlərə sırf xəyali ədədlər deyilir, məsələn, üç i. Xəyali hissə sıfırdırsa, adi həqiqi ədəd alırıq. Hər iki göz boşdursa, bu, sıfırdır. Sıfır isə yeganə kompleks ədəddir ki, həm həqiqi, həm də sırf xəyali sayılır. Bəs iki kompleks ədəd nə vaxt bərabərdir? Yalnız o zaman ki, həqiqi hissələri bərabər olsun, xəyali hissələri də bərabər olsun. Deməli, bir bərabərlik əslində iki bərabərlik verir. Dərslikdəki nümunədə sol tərəfdə x üstəgəl üç i durur, sağ tərəfdə isə beş üstəgəl x ilə y-nin cəminin i-yə hasili. Həqiqi hissələrdən x beşə bərabər olur. Xəyali hissələrdən üç bərabərdir x üstəgəl y. Deməli, y ədədi mənfi iki olur. İndi kompleks ədədlərlə hesablamağa keçək. Toplama ən asanıdır. Qələmqabını xatırlayın: həqiqi hissələr öz aralarında, xəyali hissələr öz aralarında toplanır. Çıxma da belədir, çünki çıxmaq əks ədədi toplamaq deməkdir. Hər kompleks ədədin əksi var: əks ədəddə həm həqiqi, həm də xəyali hissənin işarəsi dəyişir. Vurmada isə maraqlı bir şey baş verir. İki kompleks ədədi adi ikihədlilər kimi vururuq, hər həddi hər həddə. Yalnız bir yerdə dayanırıq: i kvadrat harada görünsə, onun yerinə mənfi bir yazırıq. Dərslikdəki nümunəyə qulaq asın: üç üstəgəl iki i, vurulur iki çıx i ədədinə. Üç vur iki, altı edir. Üç vur mənfi i, mənfi üç i. İki i vur iki, dörd i. Axırda iki i vur mənfi i, mənfi iki i kvadrat. Bax, ən maraqlı an buradadır: i kvadrat mənfi bir olduğu üçün mənfi iki i kvadrat müsbət ikiyə çevrilir. Xəyali vahiddən gələn parça həqiqi hissəyə keçdi! Hamısını toplayanda səkkiz üstəgəl i alınır. Növbəti addım bir işarənin hekayəsidir. a üstəgəl b i ədədinin qoşması a çıx b i ədədidir. Həqiqi hissə eyni qalır, xəyali hissənin isə yalnız işarəsi dəyişir. Belə iki ədədə qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlər deyilir. Qoşmanı göstərmək üçün z hərfinin üstünə xətt çəkirlər. Qoşmanın ən gözəl xassəsi budur: ədədi öz qoşmasına vuranda i tamamilə yox olur. Belə hasil həmişə həqiqi ədəddir: həqiqi hissənin kvadratı üstəgəl xəyali hissənin kvadratı. Ortadakı iki hədd bir-birini silir. Xəyali hədlərin hasili isə, i kvadrat mənfi bir olduğu üçün, xəyali hissənin kvadratına çevrilir. Xüsusi halda həqiqi ədədin qoşması özüdür, sırf xəyali ədədin qoşması isə onun əksidir. Bu xassə bölmənin açarıdır. Bölmək tərs ədədə vurmaq deməkdir, sıfırdan fərqli hər kompleks ədədin isə tərsi var. Kəsrin məxrəcində i durursa, surəti də, məxrəci də məxrəcin qoşmasına vururuq. Məxrəc həqiqi ədədə çevrilir və cavabı yenə a üstəgəl b i şəklində yazmaq olur. Dərslikdəki nümunədə üç üstəgəl iki i ədədi iki çıx i ədədinə bölünür. Məxrəcin qoşması iki üstəgəl i-dir. İki çıx i ilə iki üstəgəl i-nin hasili dörd üstəgəl bir, yəni beş olur. Surət isə dörd üstəgəl yeddi i olur. Deməli, nisbət belədir: dörd üstəgəl yeddi i, bölünsün beşə. İndi tapmacaya qayıdaq. Həqiqi ədədlərdə qüvvətin bildiyimiz xassələri kompleks ədədlərdə də doğrudur. Gəlin i-nin qüvvətlərini bir-bir sayaq. Birinci qüvvət i-nin özüdür. İkinci qüvvət mənfi birdir. Üçüncü qüvvət i kvadrat vur i, yəni mənfi i. Dördüncü qüvvət mənfi bir vur mənfi bir, yəni müsbət bir. Beşinci qüvvətdə nə olur? Bir vur i, yenə i! Altıncı qüvvət yenə mənfi bir, yeddinci mənfi i, səkkizinci isə bir. Eşitdiniz? i-nin natural qüvvətləri cəmi dörd qiymət ala bilir: i, mənfi bir, mənfi i və bir. Bu dörd qiymət hər dörd addımdan bir təkrarlanır, ilin fəsilləri kimi: yaz, yay, payız, qış, sonra yenə yaz. Deməli, i-nin dördüncü qüvvəti bir olduğu üçün, qüvvətin dördə bölünən hissəsi heç nəyi dəyişmir. Vacib olan yalnız qalıqdır. Qayda belədir: qüvvəti dördə bölün və qalığa baxın. Tapmacamız i-nin əlli səkkizinci qüvvəti idi. Əlli səkkizi dördə bölək: dörd vur on dörd əlli altı edir, qalıq ikidir. Deməli, cavab i kvadrata bərabərdir, yəni mənfi bir. Əlli səkkiz dənə i-nin hasili sadəcə mənfi birdir! Dərslikdə daha bir sual var: i-nin altmış üçüncü qüvvəti. Altmış üç ədədini dördə bölsək, qalıq üç qalır. Ona görə bu dəfə cavab mənfi i alınır. Son fəsildə başladığımız yerə, kvadrat tənliklərə qayıdırıq. Dərslik deyir ki, istənilən cəbri eynilik kompleks ədədlərdə də doğrudur. Kvadrat tənliyin köklər düsturu da eynilə işləyir. Sadəcə indi diskriminant mənfi olanda da kök tapılır. Nümunə: x kvadrat üstəgəl dörd x üstəgəl beş bərabərdir sıfır. Diskriminant on altı çıx iyirmi, yəni mənfi dörddür. Mənfi dörd isə dörd vur i kvadrat deməkdir, ona görə onun kökü iki i olur. Düsturla iki kök alırıq: mənfi iki üstəgəl i və mənfi iki çıx i. Bu iki kökə diqqətlə qulaq asın: mənfi iki üstəgəl i və mənfi iki çıx i. Onlar bir-birinin qoşmasıdır! Bu, təsadüf deyil. Əmsalları həqiqi ədədlər olan kvadrat tənliyin kompleks kökləri həmişə qarşılıqlı qoşma olur. Viyet düsturları da qüvvədə qalır: köklərin cəmi mənfi dörd, hasili isə beşdir. Eyni fikir vuruqlara ayırmada da kömək edir. Əvvəllər kvadratların cəmini belə ayıra bilmirdik. İndi isə m kvadrat üstəgəl dörd ifadəsində dördü mənfi dörd i kvadrat kimi yazırıq və kvadratlar fərqi alınır. Nəticədə m kvadrat üstəgəl dörd bərabərdir m çıx iki i ilə m üstəgəl iki i-nin hasilinə. Gəlin tapmacaya bir daha baxaq. Əlli səkkiz dənə i-ni bir-birinə vurduq, əlimizdə isə sadə bir həqiqi ədəd qaldı: mənfi bir. Bu dərsdə belə anlar az olmadı. Vurmada xəyali parça həqiqi hissəyə keçdi. Qoşmaya vuranda i tamamilə yox oldu. Diskriminantı mənfi olan tənlik isə iki qoşma kök verdi. Bütün bunların arxasında tək bir razılaşma durur: i kvadrat bərabərdir mənfi bir. Kompleks ədədlərlə işləmək adi cəbrdir, üstəgəl bir qayda: i kvadratı görəndə yerinə mənfi bir yazın. Addım-addım həllər üçün oxu dərsinə və videoya baxın. Növbəti mövzumuz isə cəbrin əsas teoremidir.