Kompleks ədədin həqiqi və xəyali hissələri

1 · Əsas fikir

Re z və İm z

Qayda

Kompleks ədəd z = a + bi şəklində yazılır; burada a və b həqiqi ədədlərdir. a — həqiqi hissə (Re z), b — xəyali hissədir (İm z). Xəyali hissə i‑nin əmsalıdır: İm(2 + 2i) = 2, 2i yox.

i² = −1, i³ = i²·i = −i

Xəyali vahidin qüvvətləri dövrü

Hər addımda i‑yə vururuq: i → −1 → −i → 1 → i … Üstü 4-ə böləndə qalıq qüvvətin qiymətini göstərir: qalıq 1 ⇒ i, qalıq 2 ⇒ −1, qalıq 3 ⇒ −i, qalıq 0 ⇒ 1.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələKompleks ədədin həqiqi və xəyali hissələri

z = 7 − 2i³ + 5i² ədədini a + bi şəklinə gətirin və Re z + İm z cəmini tapın.

1. i²-ni əvəz edirik. 5i² = 5·(−1) = −5.
2. i³-ü əvəz edirik. i³ = i²·i = −i, ona görə −2i³ = −2·(−i) = 2i.
3. Həqiqi və xəyali hədləri ayrıca toplayırıq. z = (7 − 5) + 2i = 2 + 2i.
4. Hissələri oxuyuruq. Re z = 2, İm z = 2. Cəm: 2 + 2 = 4.

Cavab: 4

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Hər qüvvəti yerinə yazırıq: 7 − 2·(−i) + 5·(−1) = 7 + 2i − 5 = 2 + 2i. Həqiqi hissə 2, xəyali hissə 2 — cəm yenə 4 alınır.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

−2i³ = −2i

i³-ü i kimi götürmək: onda z = 2 − 2i və cəm 0 olardı.

Düzgün

−2i³ = +2i

i³ = −i olduğuna görə iki mənfi işarə müsbət verir.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 0 — i³ ədədi i kimi götürülüb, yəni −2i³ = −2i yazılıb; onda z = 2 − 2i alınır. Əslində i³ = i²·i = −i, ona görə −2i³ = +2i.
• 14 — i² = 1 kimi götürülüb: 5i² = 5 yazılıb və z = 12 + 2i alınıb. Xəyali vahidin tərifi i² = −1-dir.
• 10 — Qüvvətlər heç sadələşdirilməyib: i³ yerinə i, i² yerinə 1 yazılıb və z = 12 − 2i alınıb.
• 2 — Bu, yalnız həqiqi hissədir (Re z = 2); xəyali hissə (İm z = 2) cəmə əlavə olunmayıb.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif» (Elm və Təhsil Nazirliyi), «Kompleks ədədlər haqqında» və «Kompleks ədədlər», səh. 17–20.