Mətn (transkript)
Diskriminantı mənfi dörd olan bu tənliyin, yenə də, iki kökü var. Hansılardır? Tənlik budur: iks kvadrat üstəgəl dörd iks üstəgəl beş bərabərdir sıfır. Diskriminantı hesablayaq: dördün kvadratı on altıdır, dörd vur beş isə iyirmi. On altı çıx iyirmi mənfi dörd edir. Qrafikə baxın: parabola iks oxuna heç toxunmur. Deməli, həqiqi kök yoxdur. Kök düsturunda mənfi dördün kvadrat kökü dayanıb. Bəs çıxış yolu nədir? Problem kvadratdadır: istənilən həqiqi ədədin kvadratı ya müsbətdir, ya da sıfırdır. Çıxış yolu ədədlər çoxluğunu genişləndirməkdir. Elə bir i ədədi qəbul edirik ki, onun kvadratı mənfi birə bərabərdir. Bu i xəyali vahid adlanır. Yeni çoxluqda bütün həqiqi ədədlər qalır, toplama və vurmanın xassələri də saxlanılır. Bəs i ilə hansı ədədlər qurulur? Hər yeni ədəd iki hissədən qurulur: a üstəgəl b i. Bu, kompleks ədəddir; a və b həqiqi ədədlərdir. a həqiqi hissə, b isə xəyali hissə adlanır. Məsələn, üç üstəgəl iki i ədədinin həqiqi hissəsi üç, xəyali hissəsi ikidir. a sıfır olanda beş i kimi sırf xəyali ədəd alınır. b sıfır olanda isə adi həqiqi ədəd qalır. Sıfır həm həqiqi, həm də sırf xəyali olan yeganə ədəddir. Belə ədədlərlə necə hesablayırıq? Toplama sadədir: həqiqi hissələr öz aralarında, xəyali hissələr öz aralarında toplanır. Vurma isə ikihədlilərin vurulması kimidir. Sadəcə i-nin kvadratı harada görünsə, yerinə mənfi bir yazırıq. Üç üstəgəl iki i ədədini iki çıx i ədədinə vuraq. Altı, çıx üç i, üstəgəl dörd i, çıx iki dəfə i-nin kvadratı. Sonuncu hədd üstəgəl iki olur. Cavab: səkkiz üstəgəl i. Bəs bölmək lazım olsa, məxrəcdəki i ilə nə edək? Burada köməyə qoşma ədəd gəlir. a üstəgəl b i ədədinin qoşması a çıx b i ədədidir. Həqiqi hissə eyni qalır, xəyali hissənin işarəsi dəyişir. Qoşma cütü vuranda ortadakı hədlər bir-birini silir. Hasil a kvadrat üstəgəl b kvadratdır, yəni həqiqi ədəddir. Məsələn, iki çıx i ilə iki üstəgəl i ədədlərinin hasili dörd üstəgəl bir, yəni beşdir. Bölmənin açarı elə budur. Üç üstəgəl iki i ədədini iki çıx i ədədinə bölək. Surəti də, məxrəci də məxrəcin qoşmasına, yəni iki üstəgəl i ədədinə vururuq. Məxrəc beş olur, i ondan tamamilə çıxır. Surətdə altı, üstəgəl yeddi i, üstəgəl iki dəfə i-nin kvadratı alınır. Bu da dörd üstəgəl yeddi i edir. Hər hissəni beşə bölürük: beşdə dörd üstəgəl beşdə yeddi i. İndi əsas tənliyimizə qayıtmağa hazırıq. Kök düsturu kompleks ədədlərdə də eynilə işləyir. Mənfi dördü dörd vur i-nin kvadratı kimi yazırıq, onun kökü iki i olur. Deməli, iks bərabərdir mənfi dörd üstəgəl və ya çıx iki i, bölü iki. Birinci kök mənfi iki üstəgəl i, ikinci kök mənfi iki çıx i. Bu iki kök bir-birinin qoşmasıdır. Amma onlar tənliyi doğrudanmı ödəyir? Viyet teoremi ilə yoxlayaq. Köklərin cəmində i-lər bir-birini silir, mənfi iki ilə mənfi iki isə mənfi dörd verir. Bu, iksin əmsalı olan dördün əks işarəlisidir, Viyetin dediyi kimi. Hasil isə qoşma cütün hasilidir: mənfi ikinin kvadratı dörd, üstəgəl birin kvadratı bir, cəmi beş. Bu da sərbəst həddin özüdür. Hər iki şərt ödənir. Deməli, diskriminant mənfi olanda tənliyin həqiqi kökü yoxdur, amma kompleks ədədlər çoxluğunda kökləri var. Həqiqi əmsallı kvadrat tənlikdə belə köklər həmişə qoşma cüt kimi gəlir. Diskriminantı mənfi dörd olan tənliyimizin, doğrudan da, iki kökü var: mənfi iki üstəgəl i və mənfi iki çıx i.