Kompleks ədədlər haqqında

• 6.5
• 11-ci sinif
• Çoxhədlilər

Kompleks ədədlər haqqında

x2 + 1 = 0 tənliyini ödəyən həqiqi ədəd yoxdur. Bəs kvadratı −1 olan yeni bir ədəd qəbul etsək? Onda bu tənliyin də kökləri olar: x = ±i.

Bu dərsdə

• xəyali vahidi, kompleks ədədi, onun həqiqi və xəyali hissələrini tanıyacaqsan;
• kompleks ədədləri toplayıb, vurub, böləcək, qoşmasını və i-nin qüvvətlərini tapacaqsan;
• diskriminantı mənfi olan kvadrat tənliyi həll edəcək və kökləri verilən tənliyi yazacaqsan.

y = x² + 1 parabolası x oxunu kəsmir; i² = −1 qəbul edəndə x = ±i kökləri alınır

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Kompleks ədəd
3. Toplama və vurma
4. Qoşma və bölmə
5. i-nin qüvvətləri
6. Kvadrat tənlik
7. Diqqət
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kökü olmayan tənlik

Bilirik ki, diskriminant mənfi olanda (D < 0) ax2 + bx + c = 0 tənliyinin həqiqi ədədlər çoxluğunda kökü yoxdur. Ən sadə hal: x2 + 1 = 0, yəni x2 = −1.

Həqiqi ədədin kvadratı mənfi olmur

Hər həqiqi ədədin kvadratı 0-dan kiçik deyil, ona görə x2 + 1 həmişə ən azı 1-dir və heç vaxt 0 olmur. Qrafikdə də bu görünür: y = x2 + 1 parabolası x oxundan yuxarıda qalır.

Deməli, istənilən kvadrat tənliyin köklərini özündə saxlayan yeni ədədlər çoxluğu lazımdır.

Xəyali vahid

Bu məqsədlə i2 = −1 qəbul edilir. Burada i xəyali vahid adlanır. Ədədlər çoxluğunu elə genişləndiririk ki, bütün həqiqi ədədlər və i bu çoxluğa daxil olsun, toplama və vurmanın xassələri isə saxlanılsın.

i2 = −1

Yoxlayaq: i2 + 1 = −1 + 1 = 0 və (−i)2 + 1 = i2 + 1 = 0. Deməli, x2 + 1 = 0 tənliyinin iki kökü var: x = i və x = −i.

2 · Qayda

Kompleks ədəd nədir?

Yadda saxla

a + bi şəklində ifadəyə kompleks ədəd deyilir. Burada a və b həqiqi ədədlər, i isə xəyali vahiddir. Kompleks ədədlər z, w, ω kimi işarə edilir:

z = a + bi

a = Re z — həqiqi hissə, b = İm z — xəyali hissə. Kompleks ədədlər çoxluğu C hərfi ilə işarə edilir.

z = a + bi yazılışının hissələri

Diqqət: xəyali hissə b ədədidir, bi deyil. z = 3 − 4i üçün İm z = −4.

Kompleks ədədlərin hissələri və növləri

b = 0 olanda a + 0i = a adi həqiqi ədəddir, yəni bütün həqiqi ədədlər C-yə daxildir. a + bi = 0 yalnız a = 0 və b = 0 olanda doğrudur; 0 həm həqiqi, həm də sırf xəyali olan yeganə kompleks ədəddir.

Bərabərlik

a + bi = c + di

yalnız və yalnız a = c və b = d olduqda doğrudur: həqiqi hissələr bərabər, xəyali hissələr bərabər.

Nümunə 1Bərabərlikdən naməlumları tap

x və y həqiqi ədədlərdir. (x − 2) + 3i = 5 + (x + y)i bərabərliyindən x və y-i tapın.

1. Həqiqi hissələri bərabərləşdiririk: x − 2 = 5, deməli x = 7.
2. Xəyali hissələri bərabərləşdiririk: 3 = x + y, yəni 3 = 7 + y. x = 7, y = −4

3 · Əməllər

Toplama, çıxma və vurma

Kompleks ədədlərlə ikihədlilər kimi işləyirik. Yeni olan yalnız bir qaydadır: harada i2 çıxsa, onun yerinə −1 yazırıq.

Yadda saxla

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i

Çıxma əksin toplanmasıdır: z − w = z + (−w). İki kompleks ədədi vurmaq üçün onları ikihədlilər kimi vurub i2 = −1 olduğunu nəzərə alırıq — bd-nin qarşısındakı mənfi işarəsi buradan gəlir.

(2 + 3i)(4 − i) hasilinin vurma cədvəli

Başla Yenidən Yenidən

Hər xana bir hədd verir. Mavi xanalar həqiqi, narıncı xanalar xəyali hissəyə gedir. −3i2 xanası i2 = −1 sayəsində həqiqi ədədə (+3) çevrilir.

Nümunə 2Topla, çıx, vur

z = 2 + 3i və w = 4 − i ədədlərinin cəmini, fərqini w − z və hasilini tapın.

1. Cəm: həqiqi hissələri və xəyali hissələri ayrıca toplayırıq: (2 + 4) + (3 − 1)i = 6 + 2i.
2. Fərq: (4 − i) − (2 + 3i) = (4 − 2) + (−1 − 3)i = 2 − 4i.
3. Hasil: ikihədlilər kimi vururuq: 2 · 4 − 2i + 12i − 3i2.
4. i2 = −1 yazırıq: 8 + 10i − 3 · (−1) = 8 + 10i + 3. z + w = 6 + 2i; w − z = 2 − 4i; zw = 11 + 10i

4 · Qoşma

Qoşma, əks, tərs və bölmə

Yadda saxla

a − bi ədədinə a + bi ədədinin qoşması deyilir və z̄ = a − bi kimi yazılır. z və z̄ qarşılıqlı qoşma ədədlərdir: həqiqi hissələri bərabər, xəyali hissələri əksdir. Onların hasili həqiqi ədəddir:

z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a2 − (bi)2 = a2 + b2

Məsələn, (2 + 3i)(2 − 3i) = 4 − 9i2 = 4 + 9 = 13. Həqiqi ədədin qoşması özünə bərabərdir (5̄ = 5), sırf xəyali ədədin qoşması isə onun −1-ə hasilidir (2i → −2i).

Əks ədəd

−z = −a − bi

Hər iki hissənin işarəsi dəyişir: z + (−z) = 0.

Tərs ədəd (z ≠ 0)

1z / = a − bia2 + b2 /

Surət və məxrəci a − bi-yə vururuq: məxrəc həqiqi ədəd olur.

Bölmə tərsə vurmadır: z : w = z · 1w / (w ≠ 0). Praktikada nisbətin surət və məxrəcini məxrəcin qoşmasına vururuq.

Nümunə 3Tərsi tap

z = 3 + 4i ədədinin tərsini cəbri şəkildə yazın.

1. Qoşma: z̄ = 3 − 4i; z · z̄ = 32 + 42 = 25.
2. 13 + 4i / = 3 − 4i25 / = 325 / − 425 / i. 1/z = 0,12 − 0,16i

Nümunə 4Böl

(5 + i) : (1 + i) nisbətini tapın.

1. Məxrəcin qoşması 1 − i-dir. Surət və məxrəci ona vururuq.
2. Surət: (5 + i)(1 − i) = 5 − 5i + i − i2 = 6 − 4i.
3. Məxrəc: (1 + i)(1 − i) = 12 + 12 = 2.
4. 6 − 4i2 / = 3 − 2i. Yoxlama: (3 − 2i)(1 + i) = 3 + 3i − 2i + 2 = 5 + i. (5 + i) : (1 + i) = 3 − 2i

5 · Laboratoriya

i-nin qüvvətləri dövr edir

Həqiqi ədədlərdə qüvvətin xassələri kompleks ədədlər üçün də doğrudur. i-ni ardıcıl özünə vuraq: i3 = i2 · i = −i, i4 = i2 · i2 = 1, i5 = i4 · i = i … Yalnız dörd qiymət alınır: i, −1, −i, 1, və onlar hər dörd addımdan bir təkrarlanır.

Qayda

i4m + k = (i4)m · ik = ik

n-i 4-ə bölürük; qüvvət qalığa görə tapılır (qalıq 0 olanda in = 1).

Qüvvətin üstünü seç: n =

18 27 40 85

i-nin qüvvətlərinin dörd sütunlu dövr cədvəli

n = 18: 18 = 4 · 4 + 2, qalıq 2, ona görə i18 = i2 = −1.

n = 27: 27 = 4 · 6 + 3, qalıq 3, ona görə i27 = i3 = −i.

n = 40: 40 = 4 · 10, qalıq 0, ona görə i40 = (i4)10 = 1.

n = 85: 85 = 4 · 21 + 1, qalıq 1, ona görə i85 = i1 = i.

Hər sütun bir qalığa uyğundur. Üst hansı sütundadırsa, qüvvət o sütunun başındakı ədəddir.

Ardıcıl dörd qüvvət

in + in+1 + in+2 + in+3 = 0

Cədvəlin hər sətrində i − 1 − i + 1 = 0. Məsələn, i15 + i16 + i17 + i18 = −i + 1 + i − 1 = 0.

Eyniliklər qalır

(z ± w)2 = z2 ± 2zw + w2

İstənilən cəbri eynilik kompleks ədədlər çoxluğunda da doğrudur, məsələn (z + w)(z − w) = z2 − w2.

Nümunə 5Qüvvəti sadələşdir

(1 − i)6 ifadəsini cəbri şəkildə yazın.

1. Əvvəl kvadrat: (1 − i)2 = 1 − 2i + i2 = 1 − 2i − 1 = −2i.
2. (1 − i)6 = ((1 − i)2)3 = (−2i)3 = −8i3.
3. i3 = −i, deməli −8 · (−i) = 8i. (1 − i)6 = 8i

6 · Tənliklər

Diskriminant mənfi olanda

Kompleks ədədlər çoxluğunda az2 + bz + c = 0 (a ≠ 0) tənliyinin kökləri tanış düsturla hesablanır. İndi D < 0 olanda da kök var: mənfi ədədin kökünü −4 = 4i2 kimi yazıb çıxarırıq.

Yadda saxla

z = −b ± √(b2 − 4ac)2a /

Viyet düsturları qüvvədə qalır, əmsalları həqiqi olan kvadrat tənliyin kompleks kökləri isə qarşılıqlı qoşma ədədlərdir.

y = x² − 6x + 10 parabolası x oxunu kəsmir

Parabola x oxunu kəsmir — həqiqi kök yoxdur. Kompleks köklərin həqiqi hissəsi 3 təpənin absisidir: hər iki kökdə −b/(2a) eyni qalır.

Nümunə 6Tənliyi həll et

x2 − 6x + 10 = 0 tənliyini həll edin.

1. Diskriminant: D = 36 − 4 · 1 · 10 = −4 < 0.
2. √(−4) = √(4i2) = 2i, ona görə x = (6 ± 2i) / 2 = 3 ± i.
3. Viyet ilə yoxlama: (3 + i) + (3 − i) = 6, (3 + i)(3 − i) = 9 + 1 = 10. Köklər qoşmadır. x1 = 3 + i, x2 = 3 − i

Nümunə 7Natamam tənlik və vuruqlara ayırma

a) x2 + 7 = 0 tənliyini həll edin. b) t2 + 25 ifadəsini vuruqlara ayırın.

1. a) x2 = −7 = 7i2, deməli x = ±i√7.
2. b) 25 = −25i2 = −(5i)2, ona görə cəm kvadratlar fərqinə çevrilir: t2 + 25 = t2 − (5i)2. t2 + 25 = (t − 5i)(t + 5i)

Nümunə 8Köklərə görə tənlik yaz

Kökləri 2 + 3i və 2 − 3i olan çevrilmiş kvadrat tənlik yazın.

1. Viyet: köklərin cəmi 4, hasili 22 + 32 = 13 (qoşmaların hasili a2 + b2).
2. x2 − (cəm)x + (hasil) = 0. x2 − 4x + 13 = 0

7 · Diqqət

Ən çox edilən iki səhv

i2-ni unutmaq

(2 + i)(3 + 2i) = 8 + 7i

2i2 həddi +2 kimi götürülüb, yəni i2 = 1 sanılıb.

Düzgün

6 + 7i + 2i2 = 4 + 7i

i2 = −1: 2i2 = −2, 6 − 2 = 4.

Qoşma əvəzinə əks

−3 + 2i → 3 − 2i

Hər iki işarə dəyişib — bu, əks ədəddir, qoşma deyil.

Düzgün

−3 + 2i → −3 − 2i

Qoşmada həqiqi hissə eyni qalır, yalnız xəyali hissənin işarəsi dəyişir.

Bir də bölmədə: surət və məxrəci qoşmaya vurduqdan sonra məxrəc a2 + b2 olur və hər iki hissə bu ədədə bölünür (Nümunə 4-də 2-yə).

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan z = −4 + 7i. İm z nəyə bərabərdir? Cavab variantları 7i 7 −4 −7 Düzdür! Xəyali hissə i-nin əmsalıdır. Yox. İm z — i-nin qarşısındakı həqiqi ədəddir (i-siz), Re z isə −4-dür. Həllə bax z = a + bi-də a = −4, b = 7. İm z = b = 7.
2. Asan (5 − 2i) + (−1 + 6i) cəmini tapın. Cavab variantları 4 + 8i 6 + 4i 4 + 4i 4 − 4i Əla! 5 − 1 = 4 və −2 + 6 = 4. Hissələri ayrıca, işarələri ilə topla: 5 + (−1) və −2 + 6. Həllə bax Həqiqi hissə: 5 + (−1) = 4. Xəyali hissə: −2 + 6 = 4. Cəm 4 + 4i.
3. Orta (3 − i)(2 + 5i) hasilini tapın. Cavab variantları 11 + 13i 1 + 13i 6 − 5i 11 + 17i Düzdür! −5i2 = +5. Dörd hasilin hamısını yaz və i2 = −1 nəzərə al: 6 + 15i − 2i − 5i2. Həllə bax 6 + 15i − 2i − 5i2 = 6 + 13i + 5 = 11 + 13i.
4. Orta i2026 nəyə bərabərdir? Cavab variantları 1 i −1 −i Düzdür! Qalıq 2, i2 = −1. Üstü 4-ə böl və qalığa bax: 2026 = 4 · 506 + ? Həllə bax 2026 = 4 · 506 + 2, ona görə i2026 = i2 = −1. «Cüt qüvvət həmişə 1-dir» fikri yanlışdır: yalnız 4-ə bölünən üstlərdə 1 alınır.
5. Çətin (7 + i) : (1 − i) nisbətini tapın. Cavab variantları 6 + 8i 3 + 4i 4 − 3i 3 − 4i Əla! Yoxlama: (3 + 4i)(1 − i) = 7 + i. Surət və məxrəci məxrəcin qoşmasına (1 + i) vur, sonra hər iki hissəni məxrəcə (1 + 1 = 2) böl. Həllə bax (7 + i)(1 + i) = 7 + 7i + i + i2 = 6 + 8i; (1 − i)(1 + i) = 2. Nisbət (6 + 8i) : 2 = 3 + 4i.
6. Çətin Kökləri 1 + 2i və 1 − 2i olan çevrilmiş kvadrat tənliyi seçin. Cavab variantları x2 + 2x + 5 = 0 x2 − 2x − 3 = 0 x2 − 2x + 5 = 0 x2 − 2x + 1 = 0 Düzdür! Cəm 2, hasil 1 + 4 = 5. Viyet: x-in əmsalı köklərin cəminin əksidir, sərbəst hədd hasildir; qoşmaların hasili a2 + b2. Həllə bax Cəm: (1 + 2i) + (1 − 2i) = 2. Hasil: 12 + 22 = 5. Tənlik: x2 − 2x + 5 = 0.

Xülasə

Yadda qalanlar

• z = a + bi, i2 = −1Re z = a, İm z = b; ikihədli kimi hesabla, i2-ni −1 ilə əvəz et.
• z · z̄ = a2 + b2Qoşma yalnız xəyali hissənin işarəsini dəyişir; bölmədə məxrəcin qoşmasına vur.
• D < 0 → qoşma köklərKök düsturu və Viyet düsturları qalır; i4m + k = ik — qüvvət qalıqla tapılır.

Növbəti mövzu: 6.6 Cəbrin əsas teoremi — burada çoxhədlinin kompleks kökləri də sayılır.

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Kompleks ədədlər haqqında», səh. 17–20. Nümunələrdəki və suallardakı ədədlər bu dərs üçün seçilib. Parabola təpəsi ilə köklərin həqiqi hissəsinin üst-üstə düşməsi dərslikdə verilmir, bu dərsin müşahidəsidir.