Audio dərs · Müddət
8:10
Mətn (transkript)
Dərsliyimizdə kiçik, amma çox ağıllı bir tapşırıq var. Yusifin iti qaçmağa başlayır, və hər saniyə onun sürətini ölçürlər. Başlanğıcda it yerindədir. Sonra sürəti getdikcə artır, və dördüncü saniyədə saniyədə on səkkiz metrə çatır. Sual belədir: it bu dörd saniyədə nə qədər yol qaçdı? Sürət sabit olsaydı, cavab asan olardı: sürəti vaxta vurardıq. Amma burada sürət hər an dəyişir. Dəyişən sürəti vaxta necə vurmaq olar? Bu dərsdə görəcəyik ki, cavab bir şəkildə gizlənib: sürət qrafikinin altındakı sahədə. Bu sahənin riyazi adı müəyyən inteqraldır. Sonda isə daha təəccüblü bir şey öyrənəcəyik: bəzən bu sahə mənfi sayılır. Əvvəlcə sadə haldan başlayaq. Əgər it eyni sürətlə qaçsaydı, sürət qrafiki üfüqi düz xətt olardı. Bu xəttin altında, başlanğıc və son anlar arasında bir düzbucaqlı yaranır. Onun hündürlüyü sürətdir, eni isə vaxt. Düzbucaqlının sahəsi hündürlüyün enə hasilidir, yəni sürətin vaxta hasili. Deməli, gedilən yol elə bu düzbucaqlının sahəsidir. İndi Yusifin itinə qayıdaq. Onun sürəti dəyişir, qrafik isə yuxarı qalxan bir əyridir. Gəlin dörd saniyəni dörd bərabər hissəyə bölək, hər biri bir saniyə. Hər saniyənin içində sürətin dəyişmədiyini qəbul edək. Onda hər saniyəyə ensiz bir düzbucaqlı düşür, və yol bu düzbucaqlıların sahələri cəminə yaxındır. Amma hansı sürəti götürək: saniyənin əvvəlindəkini, yoxsa sonundakını? Hər saniyənin əvvəlindəki sürəti, yəni sol ucları götürsək, cəmi otuz yeddi metr alırıq. Bu, həqiqi yoldan azdır, çünki həmin saniyə boyu it daha sürətli qaçırdı. Hər saniyənin sonundakı sürəti, yəni sağ ucları götürsək, əlli beş metr alırıq. Bu isə həqiqi yoldan çoxdur. Deməli, itin həqiqi yolu otuz yeddi ilə əlli beş metr arasındadır. Bu aralığı necə daraltmaq olar? Cavab sadədir: zolaqları incəltmək. Bunun üçün sürəti daha tez-tez ölçmək lazımdır: hər saniyə yox, hər yarım saniyə, sonra hər onda bir saniyə. Düzbucaqlılardan qurulmuş pilləkən getdikcə əyriyə yapışır. Əyrinin altında boş qalan, ya da əyrini aşan kiçik künclər getdikcə kiçilir. Dərslik bu pilləvari fiqurun sahəsinə xüsusi ad verir: inteqral cəmi. Hər zolaq üçün funksiyanın qiymətini zolağın eninə vururuq, sonra hamısını toplayırıq. Funksiya kəsilməz olduqda, zolaqların sayı artdıqca bu cəmlər müəyyən bir ədədə yaxınlaşır. Həmin ədədə funksiyanın verilmiş parça üzrə müəyyən inteqralı deyilir. Onun yazılışını bir dəfə sözlə deyək: a-dan b-yə qədər ef iks de iks inteqralı. Burada a aşağı sərhəd, b yuxarı sərhəddir, ef isə inteqralaltı funksiyadır. Bu işarənin arxasında həmişə eyni şəkil durur: çoxlu, çox incə zolaqların cəmi. Beləliklə, funksiya mənfi olmayanda müəyyən inteqral qrafikin altındakı sahəyə bərabərdir. Adi qrafikdə bu sahə kvadrat vahidlərlə ölçülür. Yusifin itinin sürət qrafikində isə sahə metrlə çıxır, çünki saniyədə metri saniyəyə vururuq. Yəni burada sahə elə gedilən yoldur. İndi dərsin ən maraqlı yerinə gəlirik. Bəs funksiyanın qrafiki iks oxundan aşağı düşsə, nə olar? İnteqral cəmində hər zolağın hündürlüyü funksiyanın qiymətidir. Funksiya mənfidirsə, hündürlük mənfi olur, en isə müsbət qalır. Mənfi ədədi müsbət ədədə vursaq, mənfi ədəd alırıq. Deməli, ox altında qalan hər zolaq cəmə mənfi əlavə edir. Yəni müəyyən inteqral adi sahə deyil, işarəli sahədir. Oxdan yuxarıdakı hissələr üstəgəl sayılır, oxdan aşağıdakı hissələr isə çıxılır. Başqa sözlə, inteqral yuxarıdakı sahə ilə aşağıdakı sahənin fərqidir. Bunu yenə itin dili ilə anlayaq. Təsəvvür edin ki, it bir xətt üzrə irəli qaçır, sonra dayanır və geri dönür. Geri qaçanda sürəti mənfi sayırıq, çünki istiqamət dəyişib. İrəli qaçdığı müddətdə sürət qrafikinin altında, oxdan yuxarıda bir sahə yaranır. Geri qaçanda isə sahə ox altına düşür. İndi iki fərqli sual verə bilərik. Birinci sual: it ümumilikdə nə qədər yol qaçdı? Bunun üçün hər iki sahəni müsbət götürüb toplayırıq. İkinci sual: it sonda başlanğıc nöqtəsindən nə qədər uzaqdadır? Bunun cavabı inteqralın özüdür: irəli qaçılan yoldan geri qaçılan yol çıxılır. Fizikada birinciyə gedilən yol, ikinciyə isə yerdəyişmə deyirlər. Dərslik də bunu vurğulayır: sahənin ədədi qiyməti mənfi ola bilməz. Ona görə, qrafik ox altına düşəndə sahəni tapmaq üçün inteqralın mütləq qiyməti götürülür. Qrafik oxu kəsirsə, parçanı kəsişmə nöqtəsində iki hissəyə bölürük. Hər hissənin sahəsini ayrıca, müsbət ədəd kimi tapırıq, sonra toplayırıq. Sahə yalnız yolu saymır. Dərslikdə başqa bir tətbiq də var: asfalt yol çəkilir. Hər növbəti kilometrin maya dəyəri, yəni marjinal maya dəyəri, sabit deyil: o, artıq çəkilmiş yolun uzunluğundan asılıdır. Bəs qırx kilometrlik yolun ümumi maya dəyərini necə tapaq? Eyni üsulla. Marjinal maya dəyərinin qrafikini çəkirik, sıfırdan qırx kilometrə qədər olan parçanı zolaqlara bölürük. Hər zolaq bir neçə kilometrin dəyərini göstərir: bir kilometrin qiyməti, vurulsun kilometrlərin sayına. Bütün zolaqların cəmi ümumi maya dəyərinə yaxındır, dəqiq cavab isə qrafikin altındakı sahədir. Orada sürəti vaxta vurub yol tapırdıq, burada qiyməti kilometrə vurub ümumi xərci tapırıq. İmtahanda da bu fikir tez-tez qarşınıza çıxacaq. Qrafikdə bir neçə sahə rənglənir və onların qiymətləri verilir: bəziləri oxdan yuxarıda, bəziləri aşağıda. İnteqralı soruşurlarsa, yuxarıdakıları toplayır, aşağıdakıları çıxırsınız. Sahəni soruşurlarsa, hamısını toplayırsınız. Ən çox edilən səhv isə bu iki sualı qarışdırmaqdır. Gəlin Yusifin itinə qayıdaq. Soruşmuşduq: dəyişən sürəti vaxta necə vurmaq olar? Cavab: sürət qrafikinin altındakı sahəni tapmaqla. Bu sahəni ensiz düzbucaqlılarla doldururuq, zolaqları incəldirik, cəmlər bir ədədə yaxınlaşır, və həmin ədəd müəyyən inteqraldır. Yadda saxlamalı olduğunuz bir fikir budur: müəyyən inteqral işarəli sahədir. Oxdan yuxarıdakı hissə üstəgəl, aşağıdakı hissə isə çıxılır. Neçə metr qaçıldığını bilmək istəyirsinizsə, sahələri müsbət götürüb toplayın. İtin başlanğıcdan nə qədər uzaqda dayandığını bilmək istəyirsinizsə, inteqralı tapın. Hesablama addımlarını oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Növbəti mövzuda isə bu sahələri daha tez tapmağın yolunu öyrənəcəksiniz.