Dörddə bir dairə oxdan aşağıda

Dörddə bir dairə oxdan aşağıda

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

y = √(r² − x²) bərabərliyi y ≥ 0 və x² + y² = r² deməkdir: bu, mərkəzi O, radiusu r olan çevrənin yuxarı yarısıdır; y = −√(r² − x²) isə aşağı yarısıdır. Qrafik oxdan aşağıda olduğu üçün inteqral həmin dairə hissəsinin sahəsinin əksinə bərabərdir.

Sdairə = πr², f ≤ 0 ⇒ ∫baf dx = −S

y = −√(4 − x²): radiusu 2 olan çevrənin aşağı yarısı; [0; 2] parçasında dörddə bir dairə

Radiusu 2 olan çevrənin [0; 2] parçasındakı aşağı qövsü: oxdan aşağıda dörddə bir dairə.

2 · Həll

Addım-addım

TapşırıqDörddə bir dairə oxdan aşağıda

∫20(−√(4 − x²))dx inteqralını həndəsi yolla tapın.

1. y = −√(4 − x²) ⇔ y ≤ 0 və x² + y² = 4: mərkəzi O(0; 0), radiusu 2 olan çevrənin aşağı yarısı.
2. [0; 2] parçasında bu qövs, absis oxu və ordinat oxu IV rübdə dörddə bir dairəni hüdudlayır.
3. Onun sahəsi: S = 14 / ·π·2² = π.
4. Qrafik oxdan aşağıda olduğu üçün ∫20(−√(4 − x²))dx = −S = −π. ∫20(−√(4 − x²))dx = −π ≈ −3,14

Yoxlama: dörddə bir dairə tərəfi 2 olan kvadratın (sahəsi 4) içindədir və katetləri 2 olan üçbucaqdan (sahəsi 2) böyükdür: 2 < π ≈ 3,14 < 4. İşarə mənfidir, çünki qrafik oxdan aşağıdadır.

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

π

Sahə düzgün, işarə itib.

Düzgün

−π

Oxdan aşağıdakı dörddə bir dairə: −π.

• «π» — Bu, dörddə bir dairənin sahəsidir. İnteqralaltı funksiya mənfidir, qrafik oxdan aşağıdadır, ona görə inteqral mənfi olmalıdır.
• «−2π» — Yarımdairə götürülüb. İnteqral [0; 2] parçası üzrədir, [−2; 2] üzrə yox: bu, çevrənin dörddə biridir.
• «−4π» — Bütün dairənin sahəsi götürülüb (π·2² = 4π). [0; 2] parçasında dairənin yalnız dörddə biri var.
• «−π/2» — Radius kvadrata yüksəldilməyib: π·2/4. Dairənin sahəsi πr² = π·4-dür.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.