İnteqral sıfırdırsa, sahələr bərabərdir

İnteqral sıfırdırsa, sahələr bərabərdir

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

İnteqral oxdan yuxarıdakı sahədən aşağıdakı sahəni çıxır. Ona görə inteqralın sıfır olması fiqurun «yox olması» demək deyil: oxdan yuxarıdakı və aşağıdakı sahələr bərabərdir.

∫baf dx = Syuxarı − Saşağı = 0 ⇔ Syuxarı = Saşağı

y = 2x − 6 üçün [1; 5] parçasında bərabər sahəli iki üçbucaq

a = 5 olanda iki üçbucaq bərabərdir: hər birinin katetləri 2 və 4, sahəsi 4.

2 · Həll

Addım-addım

Tapşırıqİnteqral sıfırdırsa, sahələr bərabərdir

a > 3. ∫a1(2x − 6)dx = 0 olarsa, a-nı tapın.

1. 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3. [1; 3] parçasında qrafik oxdan aşağıda, [3; a] parçasında yuxarıdadır.
2. Aşağıdakı üçbucaq: katetləri 3 − 1 = 2 və |f(1)| = |2 − 6| = 4; sahəsi 12 / ·2·4 = 4.
3. Yuxarıdakı üçbucaq: katetləri a − 3 və f(a) = 2a − 6 = 2(a − 3); sahəsi 12 / ·(a − 3)·2(a − 3) = (a − 3)².
4. ∫a1(2x − 6)dx = (a − 3)² − 4 = 0 ⇒ (a − 3)² = 4 ⇒ a − 3 = 2 (çünki a > 3).
5. a = 5. a = 5

Yoxlama: a = 5 olanda yuxarıdakı üçbucağın katetləri 2 və f(5) = 4, sahəsi 4 — aşağıdakı üçbucağa bərabərdir, inteqral 4 − 4 = 0.

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

a = 3

Qrafik oxu burada kəsir, amma ∫₁³ = −4 ≠ 0.

Düzgün

a = 5

Yuxarıdakı sahə (a − 3)² aşağıdakı 4-ə bərabərdir.

• «3» — Qrafikin oxu kəsdiyi nöqtədir. 1-dən 3-ə qədər inteqral yalnız aşağıdakı üçbucaqdan ibarətdir və −4-ə bərabərdir, sıfıra yox.
• «7» — Yuxarıdakı fiqurun sahəsi a − 3 kimi götürülüb (hündürlük unudulub): a − 3 = 4. Üçbucağın sahəsi ½·(a − 3)·2(a − 3) = (a − 3)²-dir.
• «3 + 2√2» — Yuxarıdakı üçbucağın hündürlüyü 2(a − 3) yox, a − 3 götürülüb: ½(a − 3)² = 4. f(a) = 2a − 6 = 2(a − 3) olduğunu yoxlayın.
• «4» — a = 4 olanda yuxarıdakı üçbucağın sahəsi (4 − 3)² = 1-dir; inteqral 1 − 4 = −3 ≠ 0.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.