Müəyyən inteqral və sahə

• 6.55
• 11-ci sinif
• İnteqral

Müəyyən inteqral və sahə

[0; 3π/2] parçasında y = cos x qrafiki ilə Ox arasındakı fiqurun sahəsi 3 kv. vahiddir. Bu parça üzrə inteqral isə −1-dir. İkisi də doğrudur: inteqral oxdan aşağıdakı hissəni çıxır.

Bu dərsdə

• müəyyən inteqralı inteqral cəmlərinin limiti kimi başa düşəcək və yazılışını oxuyacaqsan;
• inteqralı düzbucaqlı, trapesiya və üçbucaqların sahələri ilə hesablayacaqsan;
• inteqralla sahəni fərqləndirəcək, sahəni funksiyanın köklərində bölərək tapacaqsan.

y = cos x qrafiki [0; 3π/2] parçasında: oxdan yuxarıda sahə 1, aşağıda sahə 2

Başla Yenidən Yenidən

1. Cəmi qur
2. Tərif
3. Sahə ilə hesabla
4. Oxdan aşağı
5. İşarəli sahə
6. Köklərdə böl
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Pilləvari fiqurun sahəsi

Əvvəlki mövzuda əyrinin altındakı sahəni ensiz düzbucaqlılarla qiymətləndirdik. Bu üsulu bir də addım-addım işlədək — indi ondan yeni bir anlayış doğacaq.

Dərslikdəki nümunə: f(x) = 0,1x3 − 2,3x2 + 12x + 25 funksiyasının qrafikinin [1; 16] parçasında əhatə etdiyi sahəni n = 5 düzbucaqlı ilə tapaq. Dörd addım:

1. Qrafiki sxematik çək.
2. Eni tap: Δx = (16 − 1) : 5 = 3.
3. Hündürlük üçün hər hissənin sol (və ya sağ) ucundakı qiyməti götür.
4. Bax: düzbucaqlı əyridən aşağıda qalır, yoxsa onu aşır?

[1; 16] parçasında 5 düzbucaqlı ilə inteqral cəmi

Hündürlüklər sol uclardakı f(xi) qiymətləridir. İlk düzbucaqlılar əyridən çıxır, sonuncu altında qalır.

Hər düzbucaqlının sahəsi

S ≈ 3 · (34,8 + 42,6 + 30,6 + 15 + 12) = 3 · 135 = 405 kv. vahid.

Bu cəm pilləvari fiqurun sahəsidir və f funksiyasının [1; 16] parçası üzrə inteqral cəmi adlanır. Qısa yazılışı «siqma» (Σ) işarəsi ilə:

Sn = f(x1)Δx + … + f(xn)Δx = Σ f(xi)Δx

405 təqribi qiymətdir. Hissələri artırdıqca (n = 10, 100, …) pillələr incəlir və cəm dəqiq sahəyə yaxınlaşır.

2 · Tərif

Müəyyən inteqral nədir?

Yadda saxla

[a; b] parçasında istənilən kəsilməz f funksiyası üçün n → ∞ olduqda Sn inteqral cəmləri ardıcıllığı müəyyən ədədə yaxınlaşır. Bu ədədə f funksiyasının [a; b] parçası üzrə müəyyən inteqralı deyilir:

lim Sn = ∫baf(x) dx

a — aşağı sərhəd, b — yuxarı sərhəd (birlikdə inteqrallama sərhədləri), ∫ — inteqral işarəsi, f — inteqralaltı funksiya, x — inteqrallama dəyişəni.

Müəyyən inteqralın yazılışının hissələri

Belə oxunur: «a-dan b-yə qədər f(x) dx-in müəyyən inteqralı».

Niyə ∫?

Σ → ∫, Δx → dx

∫ uzadılmış S hərfidir — «summa», yəni cəm. İnteqral sonsuz incə zolaqların cəminin limitidir.

Hansı nöqtə?

f(ci), ci ∈ [xi−1; xi]

Hündürlük üçün hissənin istənilən nöqtəsini götürmək olar: sol uc, sağ uc, orta nöqtə. Limit eyni ədəddir.

f ≥ 0 olanda

S = ∫baf(x) dx

Qrafikin [a; b]-də əhatə etdiyi fiqurun sahəsi (kv. vahid) inteqrala bərabərdir.

3 · Sahə ilə hesabla

Fiqur tanışdırsa, limitə ehtiyac yoxdur

İnteqralaltı funksiyanın qrafiki düz xətdirsə, fiqur düzbucaqlı, trapesiya və ya üçbucaq olur. Onda inteqral məktəbdən bildiyimiz sahə düsturu ilə tapılır.

Düzbucaqlı və trapesiya şəklində inteqrallar

Solda sabit sürətin qrafiki altında düzbucaqlı, sağda y = 2x + 3 altında trapesiya.

Nümunə 1Qatarın yolu

Qatar saat 07:00-dan 09:00-a qədər sabit 90 km/saat sürətlə gedir. ∫9790 dt nəyi göstərir və neçəyə bərabərdir?

1. v = 90 sabitdir: qrafik t oxuna paralel düz xətdir. Fiqur eni 9 − 7 = 2, hündürlüyü 90 olan düzbucaqlıdır.
2. Sahə: 90 · 2 = 180. Sürət · vaxt = yol, yəni inteqral qatarın getdiyi yoldur. ∫9790 dt = 180 (km)

Nümunə 2Trapesiya

Hesablayın: ∫20(2x + 3) dx.

1. y = 2x + 3 düz xəttdir və [0; 2]-də müsbətdir.
2. Fiqur trapesiyadır: paralel tərəflər f(0) = 3 və f(2) = 7, hündürlük 2.
3. (3 + 7) : 2 · 2 = 10. ∫20(2x + 3) dx = 10

Ümumi halda sabitin inteqralı düzbucaqlının sahəsidir: ∫bac dx = c(b − a).

4 · Kəşf et

Qrafik oxun altına düşəndə

Tərifdə f ≥ 0 şərti yoxdur: kəsilməz istənilən funksiya üçün inteqral cəmi qurmaq olar. y = 4 − x funksiyasını [0; 6] parçasında götürək: x > 4 olanda onun qiymətləri mənfidir.

Neçə hissəyə bölək?

n = 4 n = 6 n = 12

y = 4 − x üçün [0; 6]-də inteqral cəmi

n = 4, Δx = 1,5: S4 = 1,5 · (4 + 2,5 + 1 − 0,5) = 1,5 · 7 = 10,5. Qırmızı düzbucaqlının həddi: 1,5 · (−0,5) = −0,75.

n = 6, Δx = 1: S6 = 1 · (4 + 3 + 2 + 1 + 0 − 1) = 9. x = 4-də hündürlük 0, x = 5-də isə −1-dir.

n = 12, Δx = 0,5: S12 = 0,5 · (4 + 3,5 + … + 0,5 + 0 − 0,5 − 1 − 1,5) = 0,5 · 15 = 7,5. Üç hədd mənfidir.

Yaşıl düzbucaqlılar müsbət, qırmızılar mənfi hədd verir. Ştrixli üçbucaqlar dəqiq fiqurlardır.

Oxdan aşağıdakı düzbucaqlının hündürlüyü f(ci) mənfi ədəddir, ona görə onun həddi f(ci)Δx də mənfidir: cəm bu sahəni çıxır. n artdıqca cəmlər 10,5 → 9 → 7,5 olur, n = 24-də 6,75, n = 120-də 6,15 — və 6-ya yaxınlaşır.

Üçbucaqlara baxaq: yuxarıdakının sahəsi ½ · 4 · 4 = 8, aşağıdakının ½ · 2 · 2 = 2. Limit də məhz 8 − 2 = 6-dır. Deməli ∫60(4 − x) dx = 6, fiqurun sahəsi isə 8 + 2 = 10.

5 · İşarəli sahə

İnteqral = yuxarı sahə − aşağı sahə

Yadda saxla

Qrafik oxdan aşağıda olan hissədə inteqral cəminin hər həddi mənfidir. Ona görə inteqral oxdan yuxarıdakı sahələri toplayır, aşağıdakıları çıxır:

∫baf(x) dx = S1 − S2

S1 — oxdan yuxarıdakı, S2 — oxdan aşağıdakı fiqurların sahələri cəmi. Qrafik ilə Ox arasındakı fiqurun sahəsi isə S = S1 + S2.

Dərslik bunu «Müəyyən inteqralın xassələri» bölməsində yazır: oxdan aşağıda «inteqralın qiyməti mənfi olur», amma «sahənin ədədi qiyməti mənfi ola bilməz», ona görə belə fiqurun sahəsi üçün inteqralın mütləq qiyməti götürülür.

Fiqur oxdan yuxarıda

∫baf dx = S > 0

f ≥ 0: inteqral sahəyə bərabərdir.

Fiqur oxdan aşağıda

S = |∫baf dx|

f ≤ 0: inteqral mənfidir, S = −∫f dx.

Qrafik c-də oxu kəsir

S = ∫caf dx + |∫bcf dx|

[a; c]-də f ≥ 0, [c; b]-də f ≤ 0: hissələri ayrıca götür.

Başlanğıcdakı cos x şəkli də belədir: S1 = 1, S2 = 2; inteqral 1 − 2 = −1, sahə 1 + 2 = 3.

6 · Köklərdə böl

Sahəni hissə-hissə tap

Qrafik oxu kəsirsə, bir inteqral sahəni vermir. Parçanı funksiyanın köklərində bölürük, hər hissənin sahəsini ayrıca tapıb toplayırıq.

y = |x − 2| − 1 qrafiki köklərdə üç hissəyə bölünür

Narıncı nöqtələr köklərdir: x = 1 və x = 3. Onlar parçanı üç üçbucağa bölür.

Nümunə 3İnteqral və sahə

f(x) = |x − 2| − 1 üçün ∫50f(x) dx-i və [0; 5]-də qrafik ilə Ox arasındakı fiqurun sahəsini tapın.

1. Köklər: |x − 2| = 1, yəni x = 1 və ya x = 3.
2. İşarələr: [0; 1]-də f ≥ 0 (f(0) = 1), [1; 3]-də f ≤ 0 (f(2) = −1), [3; 5]-də f ≥ 0 (f(5) = 2).
3. Hər hissə üçbucaqdır: ½ · 1 · 1 = 0,5; ½ · 2 · 1 = 1; ½ · 2 · 2 = 2.
4. İnteqral: 0,5 − 1 + 2 = 1,5. Sahə: 0,5 + 1 + 2 = 3,5. ∫50f dx = 1,5; S = 3,5

cos x: aşağıdakı fiqur yuxarıdakının iki güzgü surətidir

Oxdan aşağıdakı fiqur yuxarıdakının iki güzgü surətindən ibarətdir.

Nümunə 4cos x

y = cos x, [0; 3π/2]. [0; π/2]-dəki sahə S1 = 1-dir (dərslik onu növbəti mövzunun düsturu ilə tapır). Fiqurun sahəsini və inteqralı tapın.

1. Kök: cos x = 0, parçanın içində x = π/2. [0; π/2]-də cos x ≥ 0, [π/2; 3π/2]-də cos x ≤ 0.
2. cos(π − x) = −cos x: [π/2; π]-dəki hissə [0; π/2]-dəkinin güzgü əksidir, sahəsi 1. cos(2π − x) = cos x: qrafik x = π-yə nəzərən simmetrikdir, [π; 3π/2]-dəki hissə də 1. Deməli S2 = 2.
3. S = 1 + 2 = 3; inteqral 1 − 2 = −1. S = 3; ∫3π/20cos x dx = −1

7 · Diqqət

İnteqral həmişə sahə deyil

Səhv

S = ∫50f dx = 1,5

Aşağıdakı üçbucaq (1) yuxarıdakılardan çıxıldı. Bu, işarəli cəmdir, sahə deyil.

Düzgün

S = 0,5 + 1 + 2 = 3,5

Köklərdə böl, hər hissənin sahəsini müsbət götürüb topla.

İnteqral işarəli cəmdir, sahə isə modulların cəmidir

Eyni üç hissə: inteqral aşağı hissəni çıxır (1,5), sahə hamısını toplayır (3,5).

Modulu bütün inteqrala tətbiq etmək də kömək etmir: |∫50f dx| = 1,5 yenə sahə deyil — modul hər hissəyə ayrıca lazımdır. Tərsinə səhv də var: məsələdə inteqral soruşulursa, sahələri sadəcə toplamaq olmaz, oxdan aşağıdakılar mənfi işarə ilə girir.

8 · Həyatda

Lift: yerdəyişmə və gedilən yol

Qatar nümunəsində sürət qrafikinin altındakı sahə yolu verdi. Sürət mənfi ola bilərsə, işarə hərəkətin istiqamətini göstərir. Liftin sürətini yuxarı qalxanda müsbət, aşağı enəndə mənfi sayaq.

Liftin sürət qrafiki: yuxarı 12 m, aşağı 6 m

Başla Yenidən Yenidən

8 saniyəyə qədər lift qalxır (yaşıl, 12 m), sonra enir (qırmızı, 6 m).

Sürət qrafikinin hissələri

Yerdəyişmə: ∫120v(t) dt = 12 − 6 = 6 m — lift başladığı yerdən 6 m yuxarıdadır.

Gedilən yol: 12 + 6 = 18 m — lift cəmi bu qədər məsafə qət edib.

Sadələşdirmə: sürət qrafiki düz xətt parçalarından ibarət qəbul edilib.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan [1; 4] parçasında f(x) ≤ 0-dır və qrafik ilə Ox arasındakı fiqurun sahəsi 5-dir. ∫41f(x) dx neçəyə bərabərdir? Cavab variantları 5 −5 0 Düzdür! Fiqur oxdan aşağıdadır, inteqral mənfidir. İşarəyə bax: oxdan aşağıda inteqral cəminin hədləri mənfidir. Həllə bax f ≤ 0 olduğu üçün inteqral sahənin əks işarəlisidir: −5.
2. Asan ∫513 dx inteqralını hesabla. Cavab variantları 15 3 12 Əla! Eni 5 − 1 = 4, hündürlüyü 3 olan düzbucaqlı. Düzbucaqlının eni b − a-dır, b yox. Həllə bax Qrafik y = 3 düz xəttidir. Fiqur eni 5 − 1 = 4, hündürlüyü 3 olan düzbucaqlıdır: 3 · 4 = 12.
3. Orta Sol uclardakı qiymətlər 3; 2; −1; −2, Δx = 0,5. İnteqral cəmi S4 nəyə bərabərdir? Cavab variantları 1 2 4 Düzdür! 0,5 · (3 + 2 − 1 − 2) = 1. Hər qiyməti Δx-ə vur və mənfi qiymətləri mənfi saxla. Həllə bax S4 = 0,5 · (3 + 2 + (−1) + (−2)) = 0,5 · 2 = 1. Δx-i unutsaq 2, mənfiləri müsbət götürsək 4 alınar.
4. Orta Qrafik ilə Ox arasında üç fiqur var: S1 = 5 oxdan yuxarıda, S2 = 3 aşağıda, S3 = 2 yenə yuxarıda. Bütün parça üzrə inteqral neçədir? Cavab variantları 10 4 0 Düzdür! 5 − 3 + 2 = 4. Yalnız oxdan aşağıdakı fiqur çıxılır; 10 isə sahədir. Həllə bax İnteqral = yuxarıdakılar − aşağıdakılar: 5 + 2 − 3 = 4. Fiqurun sahəsi 5 + 3 + 2 = 10 olardı.
5. Çətin ∫30(x − 1) dx inteqralını sahələrlə hesabla. Cavab variantları 2,5 1,5 2 Əla! −0,5 + 2 = 1,5. Kök x = 1-dir: [0; 1]-dəki üçbucaq oxdan aşağıdadır və çıxılır. Həllə bax Kök x = 1. [0; 1]-də oxdan aşağıda üçbucaq: ½ · 1 · 1 = 0,5. [1; 3]-də yuxarıda: ½ · 2 · 2 = 2. İnteqral 2 − 0,5 = 1,5; sahə isə 2,5 olardı.
6. Çətin Robot 4 saniyə 3 m/san sürətlə irəli, sonra 2 saniyə 2 m/san sürətlə geri gedir. Robotun getdiyi yol neçə metrdir? Cavab variantları 8 12 16 Düzdür! 12 + 4 = 16 m. Yol üçün geri gedilən hissəni də müsbət topla; 8 yerdəyişmədir. Həllə bax İrəli: 3 · 4 = 12 m, geri: 2 · 2 = 4 m. Yol 12 + 4 = 16 m, yerdəyişmə isə ∫v dt = 12 − 4 = 8 m.

Xülasə

Yadda qalanlar

• ∫baf(x) dx = lim Snİnteqral cəmlərinin (Σ f(ci)Δx) n → ∞ olanda limiti.
• ∫ = S1 − S2Oxdan yuxarıdakı sahə müsbət, aşağıdakı mənfi girir; fiqurun sahəsi S1 + S2.
• Köklərdə bölSahə və gedilən yol üçün hissələrin sahələrini topla; ∫v dt isə yerdəyişmədir.

Növbəti mövzu: 6.56 Müəyyən inteqral. Nyuton–Leybnis düsturu

Mənbə: «Riyaziyyat» — 11-ci sinif üçün dərslik, «Müəyyən inteqral və sahə», səh. 234–236 (inteqral cəmi, tərif, qatar və trapesiya nümunələri) və «Müəyyən inteqralın xassələri», səh. 246–247 (oxdan aşağıdakı fiqurun sahəsi, cos x nümunəsi); CC BY-NC-SA 4.0. y = 4 − x, y = |x − 2| − 1, lift və yoxlama sualları bu dərs üçün seçilib.