Mətn (transkript)
Qırx kilometrlik yolda asfaltın qiyməti iki dəfə artır. Bütün yol neçəyə başa gəlir? Bu məsələ dərslikdəndir. Yolun hər yerində bir kilometr asfaltın maya dəyəri fərqlidir. Onu marjinal maya dəyəri funksiyası verir: sıfır tam onda beş iks kvadrat, çıx beş iks, üstəgəl altı yüz. Başlanğıcda qiymət kilometrə altı yüz pul vahididir. Qırxıncı kilometrdə isə kilometrə min iki yüz. Qiymət sabit olsaydı, sadəcə vurardıq. Amma o, yol boyu dəyişir. Yolu dörd bərabər hissəyə bölək, hər biri on kilometr. Hər hissədə qiyməti sabit sayaq və sol ucdakı qiyməti götürək. Onda hər hissənin xərci bir düzbucaqlının sahəsidir: hündürlüyü qiymət, eni on kilometr. Dörd düzbucaqlı birlikdə iyirmi səkkiz min edir. Qiymət əsasən artdığı üçün, bu cəm əsl xərcdən azdır. İndi hər hissənin sağ ucundakı qiyməti götürək. Düzbucaqlılar əyrini aşır və cəm otuz dörd min olur. Deməli, əsl xərc iyirmi səkkiz minlə otuz dörd min arasındadır. Aradakı fərq altı mindir. Bu aralığı necə daraldaq? Zolaqları nazikləşdirək. Səkkiz hissədə cəmlər iyirmi doqquz min iki yüz əlli və otuz iki min iki yüz əlli olur. Qırx hissədə, yəni hər kilometrə bir zolaq düşəndə, fərq cəmi altı yüzə enir. Pilləkən əyriyə getdikcə daha sıx yapışır. Belə cəmə inteqral cəmi deyilir. Hər hissədə funksiyanın qiyməti zolağın eninə vurulur, sonra bütün hasillər toplanır. Yunan hərfi siqma məhz bu toplamanı göstərir. Hissələrin sayı artdıqca, cəmlər bir ədədə yaxınlaşır. Bəs o ədəd hansıdır? Hissələrin sayı sonsuzluğa getdikdə, inteqral cəmlərinin limitinə müəyyən inteqral deyilir. Ekranda onun yazılışını görürsən: sıfırdan qırxa qədər inteqral. Sıfır aşağı sərhəd, qırx yuxarı sərhəddir. Asfalt üçün bu limit təxminən otuz min altı yüz altmış yeddi pul vahididir. Budur, qırx kilometrin maya dəyəri. İndi başqa bir qrafikə baxaq. Topu saniyədə on metr sürətlə düz yuxarı atırsan. Hava müqavimətini nəzərə almırıq, sərbəstdüşmə təcilini isə təxminən on götürürük. Sürət hər saniyə on metr azalır. Bir saniyədən sonra top dayanır və aşağı düşməyə başlayır. Aşağı hərəkətdə sürət mənfidir, qrafik oxun altına enir. İnteqral cəmində mənfi hündürlük mənfi hasil verir. Ona görə oxun üstündəki sahə müsbət, altındakı isə mənfi sayılır. Hər üçbucağın sahəsi beşdir. Sıfırdan ikiyə qədər inteqral beş çıx beş, yəni sıfırdır. Top heç yerindən tərpənmədimi? Tərpəndi: beş metr qalxdı, beş metr endi. Gedilən yol on metrdir. Sıfır isə yerdəyişmədir, çünki top atıldığı nöqtəyə qayıtdı. İnteqral işarəli sahəni, yəni yerdəyişməni verir. Yolu tapmaq üçün oxun altındakı sahəni müsbət götürüb toplayırıq. Beləliklə, müəyyən inteqral nazik düzbucaqlılar cəminin limitidir. Funksiya oxun üstündə olanda sahə müsbət, altında olanda mənfi sayılır. Qiymət yol boyu iki dəfə artsa da, bütün yolun xərcini zolaqlar topladı: təxminən otuz min altı yüz altmış yeddi.